Üçlü çarpım

Vektör kalkülüsün'de, matematiğin bir dalıdır, üçlü çarpım genellikle öklit vektörü olarak adlandırılan üç boyutlu vektörlerin çarpımıdır. Üçlü çarpım tabiri iki farklı çarpım için kullanılır, bunlardan ilki skaler değerler için kullanılan skaler üçlü çarpımı, bir diğeri ise vektörel değerliler için kullanılan vektörel üçlü çarpımdır.

Skaler üçlü çarpım (aynı zamanda karışık ya da kutu çarpımı olarak da adlandırılır) bir vektörün diğer iki vektörün vektörel çarpımıyla olan nokta çarpımı olarak tanımlanır.

Geometrik olarak, skaler üçlü çarpım

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

şekildeki paralelkenarın verilen üç vektörle tanımlanmış hacmidir.

• Üçlü skaler çarpım işlemi, Üç işlemcisinin (a, b, c) dairesel yerdeğişimine göre değişme özelliğine sahiptir:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• Operantları tekrar dizmeden operatörlerin yerini değiştirmek üçlü çarpımın sonucunu değiştirmez. Bunun sebebi nokta çarpımının birleşme özelliği ve işlem öncelidir.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Kross çarpımında iki vektörün yer değiştirmesi orijinal üçlü çarpımın işaretini değiştiri:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}$

Burada parantezler belirsizliğe yol açmadan atılabilir, çünkü işlem sırası açısından nokta çarpımı kross çarpımından sonradır. Eğer öncelik nokta çarpımında olsaydı, bir skaler ile bir vektörün çarpımı bir sonraki işlemimiz olurdu ve böyle bir işlem yapılamaz.

• Skaler üçlü çarpım üç vektörü kolonları yahut sütunları (bir matris transpozesiyle aynı determinanta sahiptir) boyunca gösterilen3×3 'lük matrisin determinantı şekilde de anlaşılabilir:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}.}$

• Eğer üçlü skaler çarpım sıfırsa, bu a, b ve c vektörleri düzlemsel demektir, böyle vektörler tarafından tanımlan üç boyutlu bir paralel kenarın yüksekliği yoktur dolayısıyla hacmi sıfırdır.
• Eğer iki üçlü skaler çarpımı sonucu çıkan vektör birbirine eşitse, o zaman çarpımın değeri sıfırdır:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Bu da bir başka özelliktir,

${\displaystyle [\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )]\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• İki üçlü çarpımın birbiriyle olan basit çarpımı (yahut bir üçlü çarpımın karesi) nokta çarpımları çinsinden şu şekilde gösterilebilir:^[1]

${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det \left[{\begin{pmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {d} &\mathbf {e} &\mathbf {f} \end{pmatrix}}\right]=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$

Bu iki 3×3 matrisin determinantlarının çarpımının iki vektörün matris çarpımının determinantına eşit olduğunu vektör notasyonunda yeniden gösterir.

skaler üçlü çarpımın üç boyutlu paralel kenarın hacmini vermesine rağmen, işareti olan bir hacimdir, işaret sistemin oriyantasyonuna (Vektör uzayı) yahut vektörlerin çiftli permütasyonuna bağlıdır. Bu oriyantasyon değişirse çarpımın işareti de değişimi anlamına gelir, çift dönüşümü buna bir örnek olabilir ve bu yüzden oriyantasyon değiştirilebilirse daha çok yalancı-skaler olarak adlandırılır.

Bu aynı zamanda kross çarpımının yönlülüğü ile ilgilidir ; kross çarpımı çiftli dönüşümler altında yalancı-vektörüne dönüşür ve daha doğru bir tabirle yalancı-vektörü olarak tanımlanır. İki vektörün nokta çarpımı skalerdir fakat bir vektörle yalancı-vektörün nokta çarpımı bir yalancı-skalerdir, yani skaler üçlü çarpım yalancı-skaler-değerli olmak zorundadır.

Eğer T bir rotasyon operatörü ise, o zaman

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

fakat eğer T uygunsuz rotasyon ise, o zaman

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Dış ve geometrik cebirde iki vektörün dış çarpımı bir çiftli vektördür, aynı şekilde üç vektörün dış çarpımı bir üçlü vektördür. Bir üçlü vektör yön verilmiş bir düzlem elemanıdır ve bir üçlü vektör dyön verilmiş bir hacim elemanıdır, aynı şekilde bir vektör yön verilmiş bir doğrudur. Verilen a, b ve c elemanları için, çarpım

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

bir skaler üçlü çarpımın büyüklüğüne eşit üçlü vektördür ve üçlü çarpımın Hodge çiftlisidir. Dış çarpım gereksiz olan parantezlerle ilgili olduğu için çünkü a ∧ b or b ∧ c işlemlerinden hangisinin önce yapıldığı önemli değildir, çarpımda vektörlerin sırasının fark etmesine rağmen. Geometrik olarak bir a ∧ b ∧ c üçlü vektörüa, b ve c elemanlarını içeren ve bir üç boyutlu paralel kenarın ikili vektörlerinden oluşan a ∧ b, b ∧ c a ∧ c ve her biri paralelkenarın yüzleriyle eşleşen üç boyutlu bir paralel kenara tekabül eder.

Üçlü çarpım iç çarpıma göre vektörlere uygulanamış üç boyutlu öklit uzayının hacim formuna özdeştir. Aynı şekilde şu ifadeye denk olan, bakınız below, üçüncü derce tensörlü vektörleri kısaltması olarak da ifade edilir.

The Vektör üçlü çarpımı bir vektörün diğer iki vektörün kross çarpımıyla olan kross çarpımı olarak tanımlanır. İzleyen ilişkiler bu bağlamda tutarlıdır:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$.

Bu üçlü çarpım genişlemesi, yahut Lagrange formülü, olarak da bilinir^[2][3] Lagrange formülü ve bazı diğer formüller cinsinden kullanılmasına rağmen. Sağ tarafı bu mnemonik teknik kullanılarak hatırlanabilir "BAC − CAB", bu hangi vektörler arasında nokta çarpımı olduğunu hatırlamamız için kullanılabilir. Bir kanıtı brada gösterilmiştir below.

Kross çarpımının birleşme özelliği olmadığı için, bu formül şu şekilde de yazılabilir (harflerin permütasyonuna bağlı):

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Lagrange formülünden şu çıkarım yapılabilir ki üçlü vektör çarpımı kross çarpımı için Jacobi özdeşliği olan şu ifadeyi sağlar:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0}$

Bu formüller fizikteki vektör hesaplarını basitleştirmek için kullanışlıdır. İçerikle ilgili ve vektör kalkülüsünde kullanışlı olan bir özdeşlik Lagrange formülünün vektör kross çarpımı özdeşliğidir :^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {f} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {f} }$

Bu daha genel olan Laplace–de Rham operatörünün ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$ özel bir durumu olarak ele alınabilir.

The ${\displaystyle x}$ component of ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ is given by:

${\displaystyle \mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})}$

yahut

${\displaystyle \mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})}$

Ekleme ve çıkartma işlemleriyle ${\displaystyle \mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}}$, ifadesi şu şekli alır

${\displaystyle \mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}}$

Benzer olarak,${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )ifadesinin<math>y}$ ve </math>${\displaystyle z}$ bileşenleri ifadesi buradan gelir:

${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}}$

ve

${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}}$

Bu üç bileşeni birleştirerek şu sonuca varırız:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Eğer geometrik cebir kullanılırsa b × c vektörlerinin kross çarpımı onların dış çarpımı şeklinde gösterilir b∧c, bir çiftli vektör. İkinci kross çarpımı bir dış çarpım olarak gösterilemez, aksi halde skaler bu üçlü çarpımla sonuçlanırdı. Sol kısaltma yerine^[6] can be used, so the formula becomes^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

Kanıt kısaltmalar özelliklerinden çıkıyor.^[6] Sonuç a × (b × c) kullanılarak bulunanla aynı vektör.

Tensör notasyonunda üçlü çarpım Levi-Civita sembolü kullanılarak gösterilir:^[8]

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$

and

${\displaystyle (\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon _{k\ell m}b^{\ell }c^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}a^{j}b^{\ell }c^{m}}$

bu ifadede de Levi-Civita sembolleri üstünde kısaltması kullanılarak gösterilebilir, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j}}$ and simplifying the result. Şablon:Bu bölümün genişletilmeye ihtiyacı var

• Lass, Harry (1950). Vektör and Tensor Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc. ss. 23-25.