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- 有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
* 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定（第一可算公理など）を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。
* 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。 特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる（詳細は列型空間を参照）。 なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。 点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω1]に順序から定まる位相を入れた空間がある。ここで ω1は最小の非可算順序数である。実際この集合においてω1は明らかに[0,ω1)の閉包に属しているにも関わらず、[0,ω1)内のいかなる点列もω1に収束しない。なぜなら ω1の非可算性と「可算集合の可算和はまた可算集合になる」という事実により、 [0,ω1)内の任意の点列に対し、点列に属する点のいずれよりも大きい順序数α<ω1が存在するので、 ω1の開近傍(α,ω1]には点列の点が存在しえないからである。 点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。 (ja)
- 有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
* 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定（第一可算公理など）を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。
* 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。 特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる（詳細は列型空間を参照）。 なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。 点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω1]に順序から定まる位相を入れた空間がある。ここで ω1は最小の非可算順序数である。実際この集合においてω1は明らかに[0,ω1)の閉包に属しているにも関わらず、[0,ω1)内のいかなる点列もω1に収束しない。なぜなら ω1の非可算性と「可算集合の可算和はまた可算集合になる」という事実により、 [0,ω1)内の任意の点列に対し、点列に属する点のいずれよりも大きい順序数α<ω1が存在するので、 ω1の開近傍(α,ω1]には点列の点が存在しえないからである。 点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。 (ja)
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- 有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
* 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定（第一可算公理など）を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。
* 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。 なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。 (ja)
- 有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の２つがある：
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