About: ガロアの逆問題

ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体 のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された未解決問題である。 いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 の代数拡大を全て与えるが知られている。 例えば、次数が5以下の置換群は生成的多項式を持つことが知られている。また、位数が8の巡回群のように、生成的多項式が存在しない群が存在することも知られている。 より一般的に、任意の有限群 G と体 K に対して、ガロア群が G と同型になるようなガロア拡大体 L/Kは存在するかを問う問題も考えられる。そのような体 L が存在するとき、G は K 上実現可能であると言う。