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- L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :
:.
Considérons alors la suite de fonctions . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des converge en moyenne quadratique vers et par conséquent, on aura aussi
:.
En d'autres termes, converge en moyenne quadratique vers .
La démonstration pour la formule d'inversion est analogue. (fr)
- On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier :
::.
On prend le carré du module des deux membres, et l'on intègre sur l'intervalle par rapport à et sur l'intervalle par rapport à :
:.
On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de et , périodiques de période en et de période 1 en .
L'intégration en du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels et sont égaux, et l'intégration en du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels et sont identiques. Il reste donc :
:.
Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale , et l'on obtient la formule :
::.
Après changement de la variable muette en , on obtient la formule annoncée. (fr)
- Lorsque est sommable, la somme définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test ,
Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du Dirac ,
::.
On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret. (fr)
- Par définition :
:.
Si l'on se place dans le cas où est radiale alors ne dépend des variables que par l'intermédiaire de la variable . On montre alors que ne dépend des variables que par l'intermédiaire de la variable .
: Soit .
En notant les vecteurs :
: En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝ :
:
Considérons la rotation telle que
:On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace par du fait que est radiale.
:
:Comme et
:
La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale .
:On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝn, coordonnées aussi appelées « Coordonnées hypersphériques ».
:.
:On montre par ailleurs que le jacobien de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est :
:avec et .
: Il en résulte :
::
: Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère parallèle à l'axe . Cela revient alors à avoir
: Calcul de
: Posons
: On reconnaît ici la fonction bêta avec la fonction gamma et , réels positifs.
: avec ;
:
:On notera au passage
::
: Calcul de
: Considérons la fonction
::
: On notera
: On a alors
::
En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :
::
:On notera alors : .
: En dérivant une seconde fois :
::.
: On reconnaît ici une équation qui est proche de l'équation différentielle de Bessel. Pour faire disparaître le facteur du deuxième terme, posons :
::.
:En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :
::.
:Il suffit alors de poser pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :
::
:Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la fonction de Bessel est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel :
:
:Avec
::
:
:
:En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :
::. (fr)
- Soit une fonction de classe C à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand tel que pour tout réel , . Introduisons une base hilbertienne de donnée par :
:
.
Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :
: où
Plus explicitement, pour x standard :
:.
La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite , et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C à support compact et tout standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C à support compact et tout , puis par densité des fonctions C à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout . (fr)
- On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose .
Soit une fonction de carré intégrable, et soit un nombre entier quelconque. On définit
:
et l'on peut montrer le résultat suivant :
:.
La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.
D'autre part, les fonctions ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier
::.
Comme la suite est de Cauchy dans l'espace , la suite des transformées de Fourier est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, que l'on note , ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si était une autre suite d'approximations convergeant vers en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation
::,
qui tend vers 0 pour tendant vers l'infini. Par conséquent, tend aussi vers 0 et l'on conclut que la limite de la suite est bien . (fr)
- Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que vérifie l'estimation
:
et que les deux premières dérivées de sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de vérifie une estimation analogue
:.
Soit un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :
:.
On vérifie que a les mêmes propriétés fonctionnelles que . Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à , avec la période :
::.
Mais le calcul de donne :
:.
On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de , et il vient :
:.
On multiplie les deux membres de cette identité par :
::.
On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à sur l'intervalle .
À gauche, l'intégration par rapport à ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à . À droite, on intègre par rapport à et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable . On obtient ainsi la formule
::.
On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche par une suite de fonctions vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les et leurs transformées de Fourier convergent vers leurs limites respectives et en norme L. On peut construire de telles approximations en tronquant , c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle , et en le régularisant par convolution. Si est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose et l'on convole la fonction tronquée par . C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre . (fr)
- * Prouvons d'abord que est stable par . Par commodité, nous ne traiterons que le cas , mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc .
# D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel , est intégrable. La fonction est donc définie et C.
# D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels , la fonction est dans , donc dans . Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,ce qui prouve la décroissance rapide de ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à .
* Soit un élément de donc de . D'après le point précédent, appartient aussi à . Le théorème d'inversion sur s'applique et donne, en notant l'opérateur de composition par : (fr)
- L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :
:.
Considérons alors la suite de fonctions . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des converge en moyenne quadratique vers et par conséquent, on aura aussi
:.
En d'autres termes, converge en moyenne quadratique vers .
La démonstration pour la formule d'inversion est analogue. (fr)
- On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier :
::.
On prend le carré du module des deux membres, et l'on intègre sur l'intervalle par rapport à et sur l'intervalle par rapport à :
:.
On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de et , périodiques de période en et de période 1 en .
L'intégration en du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels et sont égaux, et l'intégration en du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels et sont identiques. Il reste donc :
:.
Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale , et l'on obtient la formule :
::.
Après changement de la variable muette en , on obtient la formule annoncée. (fr)
- Lorsque est sommable, la somme définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test ,
Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du Dirac ,
::.
On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret. (fr)
- Par définition :
:.
Si l'on se place dans le cas où est radiale alors ne dépend des variables que par l'intermédiaire de la variable . On montre alors que ne dépend des variables que par l'intermédiaire de la variable .
: Soit .
En notant les vecteurs :
: En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝ :
:
Considérons la rotation telle que
:On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace par du fait que est radiale.
:
:Comme et
:
La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale .
:On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝn, coordonnées aussi appelées « Coordonnées hypersphériques ».
:.
:On montre par ailleurs que le jacobien de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est :
:avec et .
: Il en résulte :
::
: Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère parallèle à l'axe . Cela revient alors à avoir
: Calcul de
: Posons
: On reconnaît ici la fonction bêta avec la fonction gamma et , réels positifs.
: avec ;
:
:On notera au passage
::
: Calcul de
: Considérons la fonction
::
: On notera
: On a alors
::
En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :
::
:On notera alors : .
: En dérivant une seconde fois :
::.
: On reconnaît ici une équation qui est proche de l'équation différentielle de Bessel. Pour faire disparaître le facteur du deuxième terme, posons :
::.
:En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :
::.
:Il suffit alors de poser pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :
::
:Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la fonction de Bessel est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel :
:
:Avec
::
:
:
:En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :
::. (fr)
- Soit une fonction de classe C à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand tel que pour tout réel , . Introduisons une base hilbertienne de donnée par :
:
.
Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :
: où
Plus explicitement, pour x standard :
:.
La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite , et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C à support compact et tout standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C à support compact et tout , puis par densité des fonctions C à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout . (fr)
- On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose .
Soit une fonction de carré intégrable, et soit un nombre entier quelconque. On définit
:
et l'on peut montrer le résultat suivant :
:.
La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.
D'autre part, les fonctions ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier
::.
Comme la suite est de Cauchy dans l'espace , la suite des transformées de Fourier est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, que l'on note , ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si était une autre suite d'approximations convergeant vers en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation
::,
qui tend vers 0 pour tendant vers l'infini. Par conséquent, tend aussi vers 0 et l'on conclut que la limite de la suite est bien . (fr)
- Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que vérifie l'estimation
:
et que les deux premières dérivées de sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de vérifie une estimation analogue
:.
Soit un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :
:.
On vérifie que a les mêmes propriétés fonctionnelles que . Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à , avec la période :
::.
Mais le calcul de donne :
:.
On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de , et il vient :
:.
On multiplie les deux membres de cette identité par :
::.
On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à sur l'intervalle .
À gauche, l'intégration par rapport à ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à . À droite, on intègre par rapport à et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable . On obtient ainsi la formule
::.
On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche par une suite de fonctions vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les et leurs transformées de Fourier convergent vers leurs limites respectives et en norme L. On peut construire de telles approximations en tronquant , c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle , et en le régularisant par convolution. Si est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose et l'on convole la fonction tronquée par . C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre . (fr)
- * Prouvons d'abord que est stable par . Par commodité, nous ne traiterons que le cas , mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc .
# D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel , est intégrable. La fonction est donc définie et C.
# D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels , la fonction est dans , donc dans . Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,ce qui prouve la décroissance rapide de ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à .
* Soit un élément de donc de . D'après le point précédent, appartient aussi à . Le théorème d'inversion sur s'applique et donne, en notant l'opérateur de composition par : (fr)
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