| dbo:abstract
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- Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique. (fr)
- Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Si est de dimension finie alors sa topologie est celle d'un espace vectoriel normé, auquel le théorème précédent s'applique : est localement compact.
Réciproquement, supposons qu'il existe dans un ouvert contenant 0 et dont l'adhérence est compacte. On a donc par compacité de , il existe un ensemble fini tel que .
Soit alors le sous-espace vectoriel de engendré par cet ensemble fini . Montrons que est inclus dans .
De on déduit : , d'où . Par récurrence, on démontre ainsi que pour tout entier ≥ 1, .
Soit maintenant un élément arbitraire de . Pour tout entier ≥ 1, il existe et tels que . Or est compact donc borné au sens des espaces vectoriels topologiques , donc , , si bien que appartient à l'adhérence de , c'est-à-dire à puisque ce sous-espace est de dimension finie donc fermé. Ainsi, .
Comme est absorbant, on en déduit que , donc est de dimension finie. (fr)
- Si est de dimension finie alors sa topologie est celle d'un espace vectoriel normé, auquel le théorème précédent s'applique : est localement compact.
Réciproquement, supposons qu'il existe dans un ouvert contenant 0 et dont l'adhérence est compacte. On a donc par compacité de , il existe un ensemble fini tel que .
Soit alors le sous-espace vectoriel de engendré par cet ensemble fini . Montrons que est inclus dans .
De on déduit : , d'où . Par récurrence, on démontre ainsi que pour tout entier ≥ 1, .
Soit maintenant un élément arbitraire de . Pour tout entier ≥ 1, il existe et tels que . Or est compact donc borné au sens des espaces vectoriels topologiques , donc , , si bien que appartient à l'adhérence de , c'est-à-dire à puisque ce sous-espace est de dimension finie donc fermé. Ainsi, .
Comme est absorbant, on en déduit que , donc est de dimension finie. (fr)
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| rdfs:comment
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- Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique. (fr)
- Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique. (fr)
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