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- En mathématiques, l'anneau des entiers de Q(√5) est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+√5)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+√5)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ]. En théorie algébrique des nombres, on le définit simplement comme l'anneau OQ(√5) des entiers du corps quadratique réel Q(√5). Cet anneau est euclidien. Il possède donc des propriétés arithmétiques analogues à celles des nombres entiers usuels : il est possible d’y définir une division euclidienne, de calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres, d’y démontrer le lemme de Gauss, l'identité de Bézout et une version du théorème fondamental de l'arithmétique, garantissant l'existence de la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers. Une différence importante, cependant, est qu’il n’existe dans Z que deux éléments inversibles, 1 et –1, mais qu’il en existe une infinité dans Z[φ]. Cet anneau est souvent utilisé comme un des exemples privilégiés pour illustrer concrètement la théorie plus avancée des entiers dans les corps de nombres. Son arithmétique permet aussi de justifier plusieurs propriétés mathématiques du nombre d'or, et d’étudier certaines équations diophantiennes classiques, comme x5 + y5 = z5, liée au dernier théorème de Fermat dans le cas de degré égal à 5 ou x2 – 5y2 = 1, un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat. (fr)
- En mathématiques, l'anneau des entiers de Q(√5) est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+√5)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+√5)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ]. En théorie algébrique des nombres, on le définit simplement comme l'anneau OQ(√5) des entiers du corps quadratique réel Q(√5). Cet anneau est euclidien. Il possède donc des propriétés arithmétiques analogues à celles des nombres entiers usuels : il est possible d’y définir une division euclidienne, de calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres, d’y démontrer le lemme de Gauss, l'identité de Bézout et une version du théorème fondamental de l'arithmétique, garantissant l'existence de la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers. Une différence importante, cependant, est qu’il n’existe dans Z que deux éléments inversibles, 1 et –1, mais qu’il en existe une infinité dans Z[φ]. Cet anneau est souvent utilisé comme un des exemples privilégiés pour illustrer concrètement la théorie plus avancée des entiers dans les corps de nombres. Son arithmétique permet aussi de justifier plusieurs propriétés mathématiques du nombre d'or, et d’étudier certaines équations diophantiennes classiques, comme x5 + y5 = z5, liée au dernier théorème de Fermat dans le cas de degré égal à 5 ou x2 – 5y2 = 1, un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat. (fr)
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- En mathématiques, l'anneau des entiers de Q(√5) est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+√5)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+√5)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ]. (fr)
- En mathématiques, l'anneau des entiers de Q(√5) est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+√5)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+√5)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ]. (fr)
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