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- Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4. Grades in der komplexen projektiven Ebene, die in homogenen Koordinaten durch die Gleichung gegeben ist. Sie wurde 1879 durch Felix Klein eingeführt und besitzt außergewöhnliche Symmetrieeigenschaften. Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Fläche. Die Symmetrieeigenschaften ergeben sich durch Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit Heptagonen, so dass genau drei an jeder Ecke zusammenstoßen (deshalb genannt). Aus genau 24 dieser Heptagone lässt sich ein Torus mit 3 Löchern bilden, die Kleinsche Fläche, topologisch vom Geschlecht 3. Es gibt 24 Transformationen der Parkettierung mit 24 Heptagonen ineinander und für jede noch 7 Drehungen des Heptagons, was 168 Symmetrieoperationen ergibt (mit Spiegelungen doppelt so viele, 336). Unterteilt man die Heptagone in Dreiecke erhält man die zu (Poincaré-)duale Parkettierung (an jeder Ecke stoßen 7 Dreiecke zusammen) und man kann die Fläche zur Klein-Quartik auch aus 56 Dreiecken dieser Parkettierung bilden. 56 Transformationen der Dreiecke in andere Dreiecke und jeweils drei Drehungen ergibt wieder 168 Transformationen. Das ist auch gleichzeitig die maximale Anzahl von Symmetrien für Flächen vom Geschlecht 3, wie Adolf Hurwitz zeigte (Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen): Eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht hat maximal konforme Transformationen (ohne Spiegelungen). Die konformen Abbildungen lassen sich durch gebrochen-lineare Abbildungen (Möbiustransformationen) darstellen und bilden die projektive spezielle lineare Gruppe . Sie besteht aus komplexen 2×2-Matrizen mit Determinante 1, wobei Matrizen und identifiziert werden. Betrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene , auf der wirkt, so ist die Riemannsche Fläche zur Klein-Quartik gegeben durch mit der Kongruenzuntergruppe Sie ist eine Modulkurve (mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen, siehe Modulform). Ihre Symmetriegruppe ist und hat 168 Elemente (ohne Reflexionen, die die komplexe Struktur nicht erhalten würden). Sie ist auch die Symmetriegruppe der Fano-Ebene und die zweitkleinste einfache nichtabelsche Gruppe. Noch kleiner ist nur die Ikosaedergruppe die Felix Klein in Zusammenhang mit der Gleichung fünften Grades und der Symmetriegruppe des Ikosaeders behandelte (sie hat 60 Elemente). Da ihre Symmetriegruppe nicht in die dreidimensionale Drehgruppe SO(3) eingebettet werden kann, gibt es auch keine dreidimensionalen Realisierungen der Klein-Quartik, es gibt aber Darstellungen ihrer Form, zum Beispiel eine Skulptur von Helaman Ferguson vor dem MSRI in Berkeley. (de)
- In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 168 × 2 = 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group after the alternating group A5. The quartic was first described in. Klein's quartic occurs in many branches of mathematics, in contexts including representation theory, homology theory, octonion multiplication, Fermat's Last Theorem, and the Stark–Heegner theorem on imaginary quadratic number fields of class number one; see for a survey of properties. Originally, the "Klein quartic" referred specifically to the subset of the complex projective plane P2(C) defined by . This has a specific Riemannian metric (that makes it a minimal surface in P2(C)), under which its Gaussian curvature is not constant. But more commonly (as in this article) it is now thought of as any Riemann surface that is conformally equivalent to this algebraic curve, and especially the one that is a quotient of the hyperbolic plane H2 by a certain cocompact group G that acts freely on H2 by isometries. This gives the Klein quartic a Riemannian metric of constant curvature −1 that it inherits from H2. This set of conformally equivalent Riemannian surfaces is precisely the same as all compact Riemannian surfaces of genus 3 whose conformal automorphism group is isomorphic to the unique simple group of order 168. This group is also known as PSL(2, 7), and also as the isomorphic group PSL(3, 2). By covering space theory, the group G mentioned above is isomorphic to the fundamental group of the compact surface of genus 3. (en)
- En géométrie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du mathématicien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus élevé possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, à savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en conséquence la (en) de genre le plus bas possible. (fr)
- 대수기하학에서 클라인 4차 곡선(Klein4次曲線, 영어: Klein’s quartic curve)은 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 대칭적인 것인 모듈러 곡선이다. (ko)
- Na geometria hiperbólica, a quártica Klein (nomeado por Felix Klein) é uma superfície de Riemann compacta do gênero 3 com o grupo de automorfismo de ordem mais alta possível para esse gênero, com ordem de 168 automorfismos de preservação de orientação e 336 automorfismos se a orientação puder ser revertida. Como tal, o quártico Klein é a do gênero mais baixo possível; veja . Seu grupo de automorfismo (preservação da orientação) é isomórfico ao , o segundo menos grupo simples não-abeliano. O quártico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878. O quártico de Klein ocorre em muitos ramos da matemática, em contextos que incluem a teoria das representações, a teoria da homologia, a multiplicação de octões, o último teorema de Fermat e o teorema de em campos numéricos quadráticos imaginários da classe número um; consulte para uma pesquisa de propriedades. Originalmente, o "Klein quártico" a que se refere especificamente ao subconjunto do complexo plano projectiva P2(C) definida por uma equação algébrica . Isso possui uma métrica riemanniana específica (que a torna uma superfície mínima em P2(C) ), sob a qual sua curvatura gaussiana não é constante. Mas, mais comumente (como neste artigo), agora é entendida como qualquer superfície de Riemann que seja conformemente equivalente a essa curva algébrica, e especialmente a que é um quociente do plano hiperbólico H2 de determinados cocompactos grupos G, que age livremente no H2 isometricamente. Isto dá o Klein quártico uma métrica Riemannianos de curvatura constante −1 que herda a partir de H2 Esse conjunto de superfícies Riemannianas conformemente equivalentes é exatamente o mesmo que todas as superfícies Riemannianas compactas do gênero 3, cujo grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo simples e único da ordem 168. Esse grupo também é conhecido como PSL(2, 7) e também como grupo isomórfico PSL(3, 2) . Pela teoria do recobrimento, o grupo G mencionado acima é isomórfico ao grupo fundamental da superfície compacta do gênero 3. (pt)
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- En géométrie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du mathématicien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus élevé possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, à savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en conséquence la (en) de genre le plus bas possible. (fr)
- 대수기하학에서 클라인 4차 곡선(Klein4次曲線, 영어: Klein’s quartic curve)은 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 대칭적인 것인 모듈러 곡선이다. (ko)
- Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4. Grades in der komplexen projektiven Ebene, die in homogenen Koordinaten durch die Gleichung gegeben ist. Sie wurde 1879 durch Felix Klein eingeführt und besitzt außergewöhnliche Symmetrieeigenschaften. Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Fläche. Betrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene , auf der wirkt, so ist die Riemannsche Fläche zur Klein-Quartik gegeben durch mit der Kongruenzuntergruppe Sie ist eine Modulkurve (mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen, siehe Modulform). (de)
- In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 168 × 2 = 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group after the alternating group A5. The quartic was first described in. (en)
- Na geometria hiperbólica, a quártica Klein (nomeado por Felix Klein) é uma superfície de Riemann compacta do gênero 3 com o grupo de automorfismo de ordem mais alta possível para esse gênero, com ordem de 168 automorfismos de preservação de orientação e 336 automorfismos se a orientação puder ser revertida. Como tal, o quártico Klein é a do gênero mais baixo possível; veja . Seu grupo de automorfismo (preservação da orientação) é isomórfico ao , o segundo menos grupo simples não-abeliano. O quártico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878. (pt)
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