| dbo:abstract
|
- Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806. (cs)
- El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que un polinomi en una variable, no constant i amb coeficients complexos; té tantes arrels com indica el seu grau, comptant les arrels amb les seves multiplicitats. En altres paraules: És a dir, que per a tot polinomi del tipus: existeixen n nombres z1, ..., zn (no necessàriament tots diferents) tals que p(z1) = 0, p(z₂) = 0, ..., p(zn) = 0 i, per tant: Aquest resultat és fonamental perquè demostra que el cos dels nombres complexos és un cos algebraicament tancat, a diferència del cos dels nombres reals. Una conseqüència directa n'és el fet que el producte de totes les arrels és igual a (−1)na0 i que la suma de totes les arrels és igual a −an−1. (ca)
- المبرهنة الأساسية في الجبر (بالإنجليزية: Fundamental theorem of algebra) هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل حدودية من الدرجة الأولى فما فوق (أي أنها ليست دالة ثابتة) ذات متغير واحد، بمعاملات من فئة الأعداد المركبة ؛ لها على الأقل جذر واحد في . بصيغة أخرى مجموعة الأعداد المركبة هي مغلقة جبريا. قد تعرف هذه المبرهنة باسم نظرية ألمبيرت-غاوس. (ar)
- Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα. Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι: Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών. Το θεώρημα διατυπώνεται και ως εξής: Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής και βαθμού n με μιγαδικούς συντελεστές έχει, συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλοτήτων, ακριβώς n ρίζες. Η ισοτιμία των δύο προτάσεων μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση διαδοχικών . Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό. Παρόλο το όνομά του, δεν υπάρχει αμιγώς αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος, καθώς κάθε απόδειξη πρέπει να χρησιμοποιεί την πληρότητα των πραγματικών (ή κάποια ισοδύναμη σύνθεση), η οποία δεν είναι αλγεβρική έννοια. Επιπλέον δεν είναι θεμελιώδης για την σημερινή άλγεβρα΄ έλαβε το όνομά του σε μία εποχή όπου η μελέτη της άλγεβρας αφορούσε κυρίως την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές. (el)
- La fundamenta teoremo de algebro asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaginara parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la teoremo asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita. La teoremo estas vortumebla ankaŭ jene: ĉiu ne-nula, unu-variabla, polinomo de grado n kun kompleksaj koeficientoj havas precize n kompleksajn radikojn (kalkulitajn kun sia obleco). (eo)
- El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión con varios enchufes de los números reales. Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de esta importante proposición, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. (es)
- Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen. Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind oder – äquivalent – dass die reellen Zahlen reell abgeschlossen sind. Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“. (de)
- The fundamental theorem of algebra, also known as d'Alembert's theorem, or the d'Alembert–Gauss theorem, states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with its imaginary part equal to zero. Equivalently (by definition), the theorem states that the field of complex numbers is algebraically closed. The theorem is also stated as follows: every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots. The equivalence of the two statements can be proven through the use of successive polynomial division. Despite its name, there is no purely algebraic proof of the theorem, since any proof must use some form of the analytic completeness of the real numbers, which is . Additionally, it is not fundamental for modern algebra; its name was given at a time when algebra was synonymous with theory of equations. (en)
- Aljebraren oinarrizko teoremak dio koefiziente konplexuak dituen polinomio ez konstanteak, maila 1 edo 1 baino altuagoa duenak, gutxienez erro konplexu bat duela. (eu)
- aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial variabel tunggal non dengan koefisien bilangan kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol. Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa lapangan bilangan kompleks . Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap polinomial nonkonstan variabel tunggal berderajat dengan koefisien kompleks memiliki tepat akar kompleks (dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar). Kesetaraan pernyataan ini dengan pernyataan pada paragraf pertama dapat dibuktikan melalui penggunaan yang berurutan. Terlepas dari namanya, tidak ada bukti teorema yang murni aljabar, karena bukti apapun harus menggunakan beberapa bentuk analitik , yang merupakan bukan konsep aljabar. Selain itu, ini bukanlah teorema dasar untuk ; namanya diberikan pada saat aljabar identik dengan . (in)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. Le temps a rendu l'expression de théorème fondamental de l'algèbre un peu paradoxale. Il n'existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L'expression provient d'une époque où l'algèbre s'identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c'est-à-dire la résolution des équations polynomiales. Les frontières de l'algèbre ont maintenant changé mais le nom du théorème est resté. Les conséquences du théorème sont nombreuses ; en algèbre linéaire ce résultat est essentiel pour la réduction d'endomorphisme ; en analyse, il intervient dans la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles utilisée pour trouver une primitive. On les retrouve aussi en théorie algébrique des nombres, dans un résultat basique indiquant que toute extension algébrique du corps des rationnels peut être considérée comme un sous-corps de celui des complexes. L'histoire du théorème indique l'importance du résultat aux yeux des mathématiciens du XVIIIe siècle. Les plus grands noms, comme ceux de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss se sont attelés à sa démonstration, avec des fortunes diverses. La variété et la richesse des méthodes conçues dans ce but fut un moteur puissant pour l'évolution de la recherche en mathématiques et particulièrement pour une meilleure compréhension des nombres complexes. (fr)
- Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio in una variabile di grado (cioè non costante) con coefficienti complessi, del tipo ammette almeno una radice complessa (o zero). Equivalentemente (per definizione) il teorema asserisce che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. Dal teorema segue che un polinomio a coefficienti complessi ammette esattamente radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio a coefficienti reali ammette al più radici reali. (it)
- 대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소계수 다항식 에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. 이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫힌 체임을 뜻한다. (ko)
- De hoofdstelling van de algebra, een belangrijke stelling binnen de wiskunde, houdt in dat elke niet constante polynoom in één variabele met coëfficiënten die geheel, rationaal, reëel of complex zijn, ten minste één complex nulpunt heeft. Dit is equivalent met de vaststelling dat het lichaam, of veld, van de complexe getallen, , algebraïsch gesloten is. De stelling houdt tevens in dat elke polynoom in één variabele , met , van de graad in precies factoren kan worden ontbonden: Als een -voudig nulpunt van een polynoom keer wordt meegeteld, heeft die polynoom in het complexe vlak dus nulpunten. Ondanks de naam is er geen zuiver algebraïsch bewijs van de hoofdstelling bekend en vele wiskundigen zijn van mening dat zo'n bewijs ook niet bestaat. Bovendien is de stelling ook niet fundamenteel in de moderne algebra: de naam werd gegeven in een tijd toen algebra zich beperkte tot het oplossen van polynomiale vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten. (nl)
- 代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。 (ja)
- Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry): (pl)
- Em matemática, o teorema fundamental da álgebra afirma que qualquer polinômio com coeficientes complexos de uma variável e de grau possui alguma raiz complexa. Por outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação tem soluções não necessariamente distintas. (pt)
- Algebrans fundamentalsats kan formuleras som Ett polynom av graden med komplexa koefficienter har minst ett komplext nollställe. Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden , där är större än 0, har precis komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (några nollställen kan vara lika). En formelmässig formulering av detta är Ett polynom av graden med komplexa koefficienter har en faktorisering där är polynomets nollställen. Detta kan tyckas vara ett starkare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med den första formuleringen genom användning av faktorsatsen. Att koefficienterna anges vara komplexa tal innefattar fallet att de är reella tal, då de reella talen är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll. Nollställena kan emellertid vara icke-reella även om alla koefficienter är reella. (sv)
- Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью. Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений. (ru)
- Основна теорема алгебри стверджує, що всякий відмінний від константи многочлен з однією змінною над полем комплексних чисел має щонайменше один комплексний корінь. Це також стосується і многочленів із дійсними коефіцієнтами, оскільки будь-яке дійсне число є комплексним числом із уявною частиною, яка дорівнює нулю. Звідси випливає, що многочлен степеня має комплексних коренів, враховуючи їхні кратності. Еквівалентно (за визначенням), теорема стверджує, що поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим. (uk)
- 代数基本定理说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。 同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806. (cs)
- المبرهنة الأساسية في الجبر (بالإنجليزية: Fundamental theorem of algebra) هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل حدودية من الدرجة الأولى فما فوق (أي أنها ليست دالة ثابتة) ذات متغير واحد، بمعاملات من فئة الأعداد المركبة ؛ لها على الأقل جذر واحد في . بصيغة أخرى مجموعة الأعداد المركبة هي مغلقة جبريا. قد تعرف هذه المبرهنة باسم نظرية ألمبيرت-غاوس. (ar)
- La fundamenta teoremo de algebro asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaginara parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la teoremo asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita. La teoremo estas vortumebla ankaŭ jene: ĉiu ne-nula, unu-variabla, polinomo de grado n kun kompleksaj koeficientoj havas precize n kompleksajn radikojn (kalkulitajn kun sia obleco). (eo)
- Aljebraren oinarrizko teoremak dio koefiziente konplexuak dituen polinomio ez konstanteak, maila 1 edo 1 baino altuagoa duenak, gutxienez erro konplexu bat duela. (eu)
- Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio in una variabile di grado (cioè non costante) con coefficienti complessi, del tipo ammette almeno una radice complessa (o zero). Equivalentemente (per definizione) il teorema asserisce che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso. Dal teorema segue che un polinomio a coefficienti complessi ammette esattamente radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio a coefficienti reali ammette al più radici reali. (it)
- 대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소계수 다항식 에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. 이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫힌 체임을 뜻한다. (ko)
- 代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。 (ja)
- Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry): (pl)
- Em matemática, o teorema fundamental da álgebra afirma que qualquer polinômio com coeficientes complexos de uma variável e de grau possui alguma raiz complexa. Por outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação tem soluções não necessariamente distintas. (pt)
- Основна теорема алгебри стверджує, що всякий відмінний від константи многочлен з однією змінною над полем комплексних чисел має щонайменше один комплексний корінь. Це також стосується і многочленів із дійсними коефіцієнтами, оскільки будь-яке дійсне число є комплексним числом із уявною частиною, яка дорівнює нулю. Звідси випливає, що многочлен степеня має комплексних коренів, враховуючи їхні кратності. Еквівалентно (за визначенням), теорема стверджує, що поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим. (uk)
- 代数基本定理说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。 同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。 (zh)
- El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que un polinomi en una variable, no constant i amb coeficients complexos; té tantes arrels com indica el seu grau, comptant les arrels amb les seves multiplicitats. En altres paraules: És a dir, que per a tot polinomi del tipus: existeixen n nombres z1, ..., zn (no necessàriament tots diferents) tals que p(z1) = 0, p(z₂) = 0, ..., p(zn) = 0 i, per tant: (ca)
- Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen. Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss. (de)
- Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα. Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι: Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών. Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό. (el)
- El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión con varios enchufes de los números reales. Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. (es)
- The fundamental theorem of algebra, also known as d'Alembert's theorem, or the d'Alembert–Gauss theorem, states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with its imaginary part equal to zero. Equivalently (by definition), the theorem states that the field of complex numbers is algebraically closed. (en)
- aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial variabel tunggal non dengan koefisien bilangan kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol. Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa lapangan bilangan kompleks . (in)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. (fr)
- De hoofdstelling van de algebra, een belangrijke stelling binnen de wiskunde, houdt in dat elke niet constante polynoom in één variabele met coëfficiënten die geheel, rationaal, reëel of complex zijn, ten minste één complex nulpunt heeft. Dit is equivalent met de vaststelling dat het lichaam, of veld, van de complexe getallen, , algebraïsch gesloten is. De stelling houdt tevens in dat elke polynoom in één variabele , met , van de graad in precies factoren kan worden ontbonden: Als een -voudig nulpunt van een polynoom keer wordt meegeteld, heeft die polynoom in het complexe vlak dus nulpunten. (nl)
- Algebrans fundamentalsats kan formuleras som Ett polynom av graden med komplexa koefficienter har minst ett komplext nollställe. Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden , där är större än 0, har precis komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (några nollställen kan vara lika). En formelmässig formulering av detta är Ett polynom av graden med komplexa koefficienter har en faktorisering där är polynomets nollställen. Detta kan tyckas vara ett starkare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med den första formuleringen genom användning av faktorsatsen. (sv)
- Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью. (ru)
|