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- En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat és una parella (A,B) de subconjunts de , que formen una partició de E, i on tot element de és més petit que tot element de . De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» i , però que no ha de ser per força un element de . Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals). (ca)
- Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. (cs)
- Στα μαθηματικά, τομή Ντέντεκιντ (Dedekind) από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού , είναι ένα υποσύνολο Τ των ρητών αριθμών με τις εξής ιδιότητες:
* ,
* αν , και , τότε
* αν , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε Η ιδέα αυτή των τομών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Όλοι οι ρητοί αριθμοί περιγράφονται από μια τομή αλλά μπορούν να βρεθούν τομές οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτές οι τομές ορίζουμε να είναι οι άρρητοι αριθμοί. Έτσι η έννοια της τομής προσφέρει ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών, αν δεχθούμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των δυνατών τομών. (el)
- حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B. يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند. (ar)
- In mathematics, Dedekind cuts, named after German mathematician Richard Dedekind but previously considered by Joseph Bertrand, are а method of construction of the real numbers from the rational numbers. A Dedekind cut is a partition of the rational numbers into two sets A and B, such that all elements of A are less than all elements of B, and A contains no greatest element. The set B may or may not have a smallest element among the rationals. If B has a smallest element among the rationals, the cut corresponds to that rational. Otherwise, that cut defines a unique irrational number which, loosely speaking, fills the "gap" between A and B. In other words, A contains every rational number less than the cut, and B contains every rational number greater than or equal to the cut. An irrational cut is equated to an irrational number which is in neither set. Every real number, rational or not, is equated to one and only one cut of rationals. Dedekind cuts can be generalized from the rational numbers to any totally ordered set by defining a Dedekind cut as a partition of a totally ordered set into two non-empty parts A and B, such that A is closed downwards (meaning that for all a in A, x ≤ a implies that x is in A as well) and B is closed upwards, and A contains no greatest element. See also completeness (order theory). It is straightforward to show that a Dedekind cut among the real numbers is uniquely defined by the corresponding cut among the rational numbers. Similarly, every cut of reals is identical to the cut produced by a specific real number (which can be identified as the smallest element of the B set). In other words, the number line where every real number is defined as a Dedekind cut of rationals is a complete continuum without any further gaps. (en)
- Ein Dedekindscher Schnitt ist in der mathematischen Ordnungstheorie eine spezielle Partition der rationalen Zahlen, mit deren Hilfe sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind, obwohl solche Partitionen schon vorher vom Franzosen Joseph Bertrand beschrieben wurden, wie Detlef Spalt entdeckt hat. Sie kann zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden. Definiert man die reellen Zahlen axiomatisch, so kann man Dedekindsche Schnitte verwenden, um die Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen zu sichern. In diesem Fall spricht man dann von dem Axiom vom Dedekindschen Schnitt oder kurz vom . (de)
- Las cortaduras de Dedekind son clases de números racionales que representan la primera construcción formal[cita requerida] del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático. (es)
- En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné E est un couple (A, B) de sous-ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B. D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E. Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels). (fr)
- デデキント切断（デデキントせつだん、英: Dedekind cut）、あるいは単に切断 (独: Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。 (ja)
- Een dedekindsnede, ook snede van Dedekind of kortweg snede genoemd, is een speciale deelverzameling van de rationale getallen die een reëel getal voorstelt. Dedekindsneden worden gebruikt om uit de rationale getallen de reële getallen te construeren. Dedekindsneden zijn genoemd naar Richard Dedekind. (nl)
- 데데킨트 절단(Dedekind Cut)은 실수 체계의 구성에 사용되는 수학적 방법으로, 수학자 리하르트 데데킨트에 의해 고안되었다. (ko)
- In matematica una sezione di Dedekind, che prende il nome da Richard Dedekind, in un insieme totalmente ordinato S è una partizione di esso, (A, B), tale che A è un taglio iniziale senza un massimo. La sezione stessa è concettualmente il "divario" tra A e B. I casi originali e più importanti sono le sezioni di Dedekind dei numeri razionali e i numeri reali. Dedekind usò le sezioni per dimostrare la completezza dei reali senza usare l'assioma della scelta (dimostrando l'esistenza di un campo completamente ordinato indipendente dal detto assioma). In una sezione di Dedekind (A, B), A viene detto anche "taglio di Dedekind". La sezione di Dedekind risolve la contraddizione tra la natura continua del continuum dell'asse numerico e la natura discreta dei numeri stessi. Ovunque ci sia una sezione che non sia su un numero razionale reale, viene creato un numero irrazionale (che è anche un numero reale) dal matematico. Attraverso l'uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionale o irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuità. Dedekind usò la parola ambigua "sezione" (Schnitt) nel senso geometrico. Dunque essa è un'intersezione di una linea con un'altra linea che la incrocia, non è un divario. Quando una linea ne incrocia un'altra in geometria, si dice che taglia quella linea. In questo caso, una delle linee è l'asse numerico ed entrambe le linee hanno un punto in comune. In quel punto nell'asse numerico, se non esiste un numero razionale, il matematico colloca o posiziona arbitrariamente un numero irrazionale. Questo porta a posizionare un numero reale in ogni punto del continuum. (it)
- Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda. Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872 w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał: w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój. (pl)
- Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjuntos especiais do corpo ordenado , os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano. Um subconjunto é um corte se satisfaz às seguintes propriedades: 1.
* ; 2.
* Se e é tal que , então temos que ; 3.
* Se , então , com . Intuitivamente um corte é uma semirreta racional que não tem maior elemento. (pt)
- Inom matematiken är Dedekindsnitt, uppkallat efter Richard Dedekind, ett sätt att definiera begreppet reellt tal, på ett sådant sätt att alla viktiga egenskaper (axiom) för reella tal uppfylls. Metoden utgår enbart ifrån mängdteorin och därmed kan hela det reella talsystemet sägas bero endast på mängdlärans axiom. Dedekindsnitt är dock inte det enda sättet att definiera de reella talen. Beteckningen "snitt" kommer från tyskans "Schnitt" (snitt, delning) och skall inte blandas samman med snittet av två mängder. Ett Dedekindsnitt är en partition av de rationella talen i två icke-tomma mängder A och B sådan att alla element i A är mindre än varje element i B och där A inte innehåller något största element. Mängden B kan ha ett lägsta element, som då är lika med Dedekindsnittet, vilket i så fall är ett rationellt tal. Om B inte har ett lägsta element är Dedekindsnittet irrationellt. De reella talen, , definieras med denna metod som mängden av alla Dedekindsnitt. (sv)
- Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений.На них возможно продолжить операции сложения и умножения. (ru)
- 戴德金分割是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言，将分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。 常见的是对于全体有理数的操作，即。对于有理数，将有理数集合分拆为两个非空集合和，若和满足条件： 1.
* ，关系式和必有且只有一个成立。 2.
* ，，必有，并且和两者在不同时取等号时均成立。 则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为。其中集合称为戴德金分割的下组，集合称为戴德金分割的上组。 (zh)
- Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел. (uk)
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- En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat és una parella (A,B) de subconjunts de , que formen una partició de E, i on tot element de és més petit que tot element de . De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» i , però que no ha de ser per força un element de . Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals). (ca)
- Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. (cs)
- حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B. يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند. (ar)
- Las cortaduras de Dedekind son clases de números racionales que representan la primera construcción formal[cita requerida] del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático. (es)
- En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné E est un couple (A, B) de sous-ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B. D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E. Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels). (fr)
- デデキント切断（デデキントせつだん、英: Dedekind cut）、あるいは単に切断 (独: Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。 (ja)
- Een dedekindsnede, ook snede van Dedekind of kortweg snede genoemd, is een speciale deelverzameling van de rationale getallen die een reëel getal voorstelt. Dedekindsneden worden gebruikt om uit de rationale getallen de reële getallen te construeren. Dedekindsneden zijn genoemd naar Richard Dedekind. (nl)
- 데데킨트 절단(Dedekind Cut)은 실수 체계의 구성에 사용되는 수학적 방법으로, 수학자 리하르트 데데킨트에 의해 고안되었다. (ko)
- Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda. Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872 w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał: w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój. (pl)
- Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjuntos especiais do corpo ordenado , os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano. Um subconjunto é um corte se satisfaz às seguintes propriedades: 1.
* ; 2.
* Se e é tal que , então temos que ; 3.
* Se , então , com . Intuitivamente um corte é uma semirreta racional que não tem maior elemento. (pt)
- Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений.На них возможно продолжить операции сложения и умножения. (ru)
- 戴德金分割是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言，将分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。 常见的是对于全体有理数的操作，即。对于有理数，将有理数集合分拆为两个非空集合和，若和满足条件： 1.
* ，关系式和必有且只有一个成立。 2.
* ，，必有，并且和两者在不同时取等号时均成立。 则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为。其中集合称为戴德金分割的下组，集合称为戴德金分割的上组。 (zh)
- Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел. (uk)
- Στα μαθηματικά, τομή Ντέντεκιντ (Dedekind) από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού , είναι ένα υποσύνολο Τ των ρητών αριθμών με τις εξής ιδιότητες:
* ,
* αν , και , τότε
* αν , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε (el)
- Ein Dedekindscher Schnitt ist in der mathematischen Ordnungstheorie eine spezielle Partition der rationalen Zahlen, mit deren Hilfe sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind, obwohl solche Partitionen schon vorher vom Franzosen Joseph Bertrand beschrieben wurden, wie Detlef Spalt entdeckt hat. Sie kann zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden. (de)
- In mathematics, Dedekind cuts, named after German mathematician Richard Dedekind but previously considered by Joseph Bertrand, are а method of construction of the real numbers from the rational numbers. A Dedekind cut is a partition of the rational numbers into two sets A and B, such that all elements of A are less than all elements of B, and A contains no greatest element. The set B may or may not have a smallest element among the rationals. If B has a smallest element among the rationals, the cut corresponds to that rational. Otherwise, that cut defines a unique irrational number which, loosely speaking, fills the "gap" between A and B. In other words, A contains every rational number less than the cut, and B contains every rational number greater than or equal to the cut. An irrational (en)
- In matematica una sezione di Dedekind, che prende il nome da Richard Dedekind, in un insieme totalmente ordinato S è una partizione di esso, (A, B), tale che A è un taglio iniziale senza un massimo. La sezione stessa è concettualmente il "divario" tra A e B. I casi originali e più importanti sono le sezioni di Dedekind dei numeri razionali e i numeri reali. Dedekind usò le sezioni per dimostrare la completezza dei reali senza usare l'assioma della scelta (dimostrando l'esistenza di un campo completamente ordinato indipendente dal detto assioma). (it)
- Inom matematiken är Dedekindsnitt, uppkallat efter Richard Dedekind, ett sätt att definiera begreppet reellt tal, på ett sådant sätt att alla viktiga egenskaper (axiom) för reella tal uppfylls. Metoden utgår enbart ifrån mängdteorin och därmed kan hela det reella talsystemet sägas bero endast på mängdlärans axiom. Dedekindsnitt är dock inte det enda sättet att definiera de reella talen. Beteckningen "snitt" kommer från tyskans "Schnitt" (snitt, delning) och skall inte blandas samman med snittet av två mängder. (sv)
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