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- عدد ماركوف هو عدد صحيح موجب x أو y أو z، جزءا من حل لمعادلة ماركوف الديوفانتية. (ar)
- Αριθμός Μάρκοφ ή αριθμός Μάρκοβ (αγγλικά: Markov number ή πιο σπάνια Markow number και συχνά σε παλιές εκδόσεις Markoff number) είναι ένας θετικός ακέραιος x, y ή z που αποτελεί μέρος της λύσης της διοφαντικής εξίσωσης Μάρκοφ η οποία μελετήθηκε από τον το 1879 και το 1880. Οι πρώτοι αριθμοί Μάρκοφ είναι 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... και εμφανίζονται ως συντεταγμένες των τριάδων Μάρκοφ (Markov triples) (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ... Υπάρχουν άπειροι αριθμοί Μάρκοφ και τριάδες Μάρκοφ αντίστοιχα. (el)
- Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl oder , die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, … Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet. Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der Quadratischen Formen und der diophantischen Approximationen vor: Ist eine Markoff-Zahl, so ist sowohl ein Element des sogenannten Markoff-Spektrums (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen). (de)
- Un número de Markov (o número de Markoff) es un entero positivo que es parte de una solución a la ecuación diofántica de Markov: Esta ecuación fue estudiada por Andréi Márkov. Los primeros números de Markov son el 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325... (sucesión A002559 en OEIS), que aparecen como coordenadas de los triples de Markov (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), etc. Hay infinitos números de Markov y triples de Markov. (es)
- A Markov number or Markoff number is a positive integer x, y or z that is part of a solution to the Markov Diophantine equation studied by Andrey Markoff . The first few Markov numbers are 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (sequence in the OEIS) appearing as coordinates of the Markov triples (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ... There are infinitely many Markov numbers and Markov triples. (en)
- En arithmétique, un triplet de Markov est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls solution de l'équation diophantienne de Markov : . Un nombre de Markov est un entier intervenant dans un triplet de Markov. Ils portent le nom du mathématicien russe Andreï Markov qui les a étudiés en 1879. (fr)
- ( 비슷한 이름의 에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.) 마르코프 수(Markov number 또는 Markoff number)는 마르코프 디오판토스 방정식의 해가 되는 양의 정수를 일컫는다. 안드레이 마르코프(Andrey Markoff)가 1879년 논문에서 발표했다. 이 방정식의 해는 무한히 많으며 아래는 그 중 일부이다. (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325),..., 이 해의 조합에 포함된 숫자 모두를 마르코프 수라고 한다. 즉, 아래 숫자들이 마르코프 수에 해당된다. 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (ko)
- マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式 の解の一部を与える正整数x, y, zである。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。 最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A002559) これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), ... マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 c に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。 マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、 が平方数となるような n と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。 ただし Fx はx 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。 ここで Px は x 番目のペル数とする。 奇数のマルコフ数はという形であり、偶数のマルコフ数は という形である。 あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、 という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。 がマルコフの3つ組であるために、必ずしも が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて y と z を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。 1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である）がf(t) = arcosh(3t/2)に対して と書けることを示した。 n 番目のは、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。 (ja)
- Un numero di Markov è un numero intero soluzione dell'equazione diofantea di Markov I primi numeri di Markov sono 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... che corrispondono alle soluzioni (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ... Ci sono infiniti numeri di Markov e, di conseguenza, triple di Markov. I numeri di Markov possono essere organizzati in un albero binario, in modo che tre numeri che confinino tra loro costituiscano una tripla: in questa rappresentazione, tutti i numeri adiacenti ad 1 sono numeri di Fibonacci di indice dispari, mentre quelli adiacenti a 2 sono soluzioni dell'equazione di Pell con 2, ovvero numeri n tali che 2n2 - 1 è un quadrato perfetto. Da una tripla di Markov (x, y, z), un'altra tripla può essere ottenuta attraverso la formula . L'albero formato dai numeri di Markov. (it)
- Een markovgetal is elk van de positieve gehele getallen en die deel uitmaken van een oplossing van de diofantische vergelijking: Frobenius noemde deze getallen in 1913 de getallen van Markoff en de diofantische vergelijking de vergelijking van Markoff. Ze zijn genoemd naar Andrej Markov. De vergelijking kwam voor in de theorie van binaire kwadratische vormen, die door Markov werd bestudeerd (Markov publiceerde in het Frans en gebruikte de Franse transcriptie van zijn naam, Markoff). De getallen komen ook voor in de diofantische benadering van reële getallen door rationale getallen. De oplossingen van de vergelijking zijn tripels . De variabelen en mogen gepermuteerd worden want de vergelijking is symmetrisch in en . Oplossingen worden bij conventie in de genormaliseerde vorm geschreven waarbij . De vergelijking heeft de triviale oplossingen (1,1,1) en (2,1,1); (1,2,1) en (1,1,2) beschouwt men als dezelfde oplossing. Andere oplossingen kunnen hieruit afgeleid worden. Als een oplossing is, dan is ook een oplossing; dit volgt uit het feit dat de vergelijking kwadratisch is in en . Uit (2,1,1) kan men zo afleiden dat (2,1,5) of (1,2,5) ook een oplossing is; uit (5,1,2) dat (5,1,13) of (1,5,13) een oplossing is, enzovoort. Er zijn oneindig vele oplossingen, en oneindig vele markovgetallen. De eerste markovgetallen zijn: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (nl)
- Числа Маркова — это положительные числа x, y или z, являющиеся решениями диофантова уравнения Маркова которое изучал Андрей Марков. Первые несколько чисел Маркова 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ..., появляющиеся как координаты троек Маркова (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (89, 233, 62210), и т.д. Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова. (ru)
- 不定方程稱為馬爾可夫方程（英語：Markov equation或Markoff equation）。 求解方法如下：
* 先憑觀察找出這組解。
* 方程可視為一個為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知 （留意）也是一個解。 這個方程有無限個解。 事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。 在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（英語：Markov number），它們由小到大是： 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （） 它們組成的解是： (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ... (zh)
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- عدد ماركوف هو عدد صحيح موجب x أو y أو z، جزءا من حل لمعادلة ماركوف الديوفانتية. (ar)
- A Markov number or Markoff number is a positive integer x, y or z that is part of a solution to the Markov Diophantine equation studied by Andrey Markoff . The first few Markov numbers are 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (sequence in the OEIS) appearing as coordinates of the Markov triples (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ... There are infinitely many Markov numbers and Markov triples. (en)
- En arithmétique, un triplet de Markov est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls solution de l'équation diophantienne de Markov : . Un nombre de Markov est un entier intervenant dans un triplet de Markov. Ils portent le nom du mathématicien russe Andreï Markov qui les a étudiés en 1879. (fr)
- ( 비슷한 이름의 에 관해서는 해당 문서를 참조하십시오.) 마르코프 수(Markov number 또는 Markoff number)는 마르코프 디오판토스 방정식의 해가 되는 양의 정수를 일컫는다. 안드레이 마르코프(Andrey Markoff)가 1879년 논문에서 발표했다. 이 방정식의 해는 무한히 많으며 아래는 그 중 일부이다. (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325),..., 이 해의 조합에 포함된 숫자 모두를 마르코프 수라고 한다. 즉, 아래 숫자들이 마르코프 수에 해당된다. 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (ko)
- Числа Маркова — это положительные числа x, y или z, являющиеся решениями диофантова уравнения Маркова которое изучал Андрей Марков. Первые несколько чисел Маркова 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ..., появляющиеся как координаты троек Маркова (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (89, 233, 62210), и т.д. Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова. (ru)
- 不定方程稱為馬爾可夫方程（英語：Markov equation或Markoff equation）。 求解方法如下：
* 先憑觀察找出這組解。
* 方程可視為一個為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知 （留意）也是一個解。 這個方程有無限個解。 事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。 在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（英語：Markov number），它們由小到大是： 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （） 它們組成的解是： (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ... (zh)
- Αριθμός Μάρκοφ ή αριθμός Μάρκοβ (αγγλικά: Markov number ή πιο σπάνια Markow number και συχνά σε παλιές εκδόσεις Markoff number) είναι ένας θετικός ακέραιος x, y ή z που αποτελεί μέρος της λύσης της διοφαντικής εξίσωσης Μάρκοφ η οποία μελετήθηκε από τον το 1879 και το 1880. Οι πρώτοι αριθμοί Μάρκοφ είναι 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... και εμφανίζονται ως συντεταγμένες των τριάδων Μάρκοφ (Markov triples) (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ... (el)
- Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl oder , die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, … Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet. (de)
- Un número de Markov (o número de Markoff) es un entero positivo que es parte de una solución a la ecuación diofántica de Markov: Esta ecuación fue estudiada por Andréi Márkov. Los primeros números de Markov son el 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325... (sucesión A002559 en OEIS), que aparecen como coordenadas de los triples de Markov (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), etc. (es)
- Un numero di Markov è un numero intero soluzione dell'equazione diofantea di Markov I primi numeri di Markov sono 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... che corrispondono alle soluzioni (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ... Da una tripla di Markov (x, y, z), un'altra tripla può essere ottenuta attraverso la formula . L'albero formato dai numeri di Markov. (it)
- マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式 の解の一部を与える正整数x, y, zである。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。 最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A002559) これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), ... ただし Fx はx 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。 ここで Px は x 番目のペル数とする。 奇数のマルコフ数はという形であり、偶数のマルコフ数は という形である。 1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に n 番目のは、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。 (ja)
- Een markovgetal is elk van de positieve gehele getallen en die deel uitmaken van een oplossing van de diofantische vergelijking: Frobenius noemde deze getallen in 1913 de getallen van Markoff en de diofantische vergelijking de vergelijking van Markoff. Ze zijn genoemd naar Andrej Markov. De vergelijking kwam voor in de theorie van binaire kwadratische vormen, die door Markov werd bestudeerd (Markov publiceerde in het Frans en gebruikte de Franse transcriptie van zijn naam, Markoff). De getallen komen ook voor in de diofantische benadering van reële getallen door rationale getallen. (nl)
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