平面充填

平面を隙間なく敷き詰められる正多角形の頂点の数は３，４，６の3種類だけ。

複数の正多角形を使ってよい場合、すべての頂点が同じ形をしている（各頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ）という条件では、次の８種類の敷き詰め方がある。これをアルキメデスの平面充填と呼ぶ。

左上の敷き詰め方は(3,3,3,3,6)または(,6)と表すことができて、これは頂点の周りに正3角形が4つと正6角形が1つ並ぶことを示す。このような表記を頂点形状（Vertex Figure）と呼ぶ。 (3,3,4,3,4)となっていたら、正3角形、正3角形、正4角形、正3角形、正4角形の順番に並ぶことがわかる。頂点の周りに集まる多角形の内角を足し合わせれば360°になる。

多角形Aと多角形Bの境界に位置する稜線を、多角形Aと多角形Bの中心を結ぶ線分に置き換えると、双対な関係にある平面充填を求めることができる。
上記の敷き詰めパターンと、その双対のパターンとの対応関係は英語版のWikipedia（List of convex uniform tilings）で見ることができる。

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