Lemniskata e Bernulit

Në gjeometri, lemniskata e Bernulit është një kurbë e rrafshët e përcaktuar nga dy pika të dhëna F₁ dhe F₂, të njohura si vatra, në largësi 2c nga njëra tjetra si vendndodhja e pikave P të tilla që PF₁·PF₂ = c² . Kurba ka një formë të ngjashme me numrin 8 dhe me simbolin ∞ . Emri i saj vjen nga lemniscatus, që latinisht do të thotë "të zbukuruar me shirita të varur". Është një rast i veçantë i ovalit Cassini dhe është një kurbë racionale algjebrike e shkallës 4.

Kjp lemniskatë u përshkrua për herë të parë në 1694 nga Jakob Bernoulli si një modifikim i një elipsi, i cili është vendndodhja e pikave për të cilat shuma e largësive në secilën prej dy pikave vatrore fikse është një konstante . Një ovale Cassini, përkundrazi, është vendndodhja e pikave për të cilat prodhimi i këtyre largësive është konstant. Në rastin kur kurba kalon përmes pikës në mes të vatrave, ovali është një lemniskatë e Bernulit.

Ekuacionet mund të shprehen në terma të largësisë vatrore c ose gjysmës së gjerësisë a të një lemniskate. Këta parametra lidhen si ${\displaystyle a=c{\sqrt {2}}}$.

• Ekuacioni i saj kartezian është (deri në përkthim dhe rrotullim):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}&=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\end{aligned}}}$

• Si një ekuacion parametrik :

  ${\displaystyle x={\frac {a\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}}$

• Një parametrizim racional: ^[1]

  ${\displaystyle x=a{\frac {t+t^{3}}{1+t^{4}}};\qquad y=a{\frac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}}$

• Në koordinata polare :

  ${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta }$

• Ekuacioni i saj në planin kompleks është:

  ${\displaystyle |z-c||z+c|=c^{2}}$

• Në koordinatat bipolare me dy qendra :

  ${\displaystyle rr'=c^{2}}$

• Në koordinatat racionale polare :

  ${\displaystyle Q=2s-1}$

Përcaktimi i gjatësisë së harkut të harqeve të leminiskatës çon në integrale eliptike, siç u zbulua në shekullin e XVIII. Rreth vitit 1800, funksionet eliptike që përmbysin ato integrale u studiuan nga CF Gauss (kryesisht i pabotuar në atë kohë, por aludime në shënimet e tij Disquisitiones Arithmeticae ).

Përdorimi i integralit eliptik

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

formula e gjatësisë së harkut L mund të jepet si

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=4{\sqrt {2}}\,c\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}\,c\,\operatorname {arcsl} 1\\[6pt]&={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\,c={\frac {2\pi }{\operatorname {M} (1,1/{\sqrt {2}})}}c\approx 7{.}416\cdot c\end{aligned}}}$

ku ${\displaystyle \Gamma }$ është funksioni gama dhe ${\displaystyle \operatorname {M} }$ është mesatarja aritmetike-gjeometrike .

Duke pasur parasysh dy pika të dallueshme ${\displaystyle {\rm {A}}}$ dhe ${\displaystyle {\rm {B}}}$, le të jetë ${\displaystyle {\rm {M}}}$ mesi i ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ . Pastaj leminiskata e diametrit ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ mund të përkufizohet edhe si bashkësia e pikave ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ${\displaystyle {\rm {M}}}$, së bashku me vendndodhjen e pikave ${\displaystyle {\rm {P}}}$ sikurse ${\displaystyle |{\widehat {\rm {APM}}}-{\widehat {\rm {BPM}}}|}$ është një kënd i drejtë (krh. Teorema e Talesit dhe e anasjellta e saj). ^[2]

• Lemniskata është simetrike me vijën që lidh vatrat e saj F₁ dhe F₂ dhe gjithashtu me përgjysmuesin pingul të segmentit të drejtëzës F₁F₂.
• Lemniskata është simetrike me pikën e mesit të segmentit të drejtëzës F₁F₂.
• Zona e mbyllur nga lemniskata është a² = 2c².
• Lemniskata është e anasjellta rrethore e një hiperbole dhe anasjelltas.
• Dy tangjentet në pikën e mesit O janë pingul dhe secila prej tyre formon një kënd prej ${\displaystyle \pi /4}$ me linjën që lidh F₁ dhe F₂ .
• Kurbatura në ${\displaystyle (x,y)}$ është ${\displaystyle {\frac {3}{a^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Kurbatura maksimale që arrihet në ${\displaystyle (\pm a,0)}$ është ${\displaystyle 3/a}$.

1. ^ Lemmermeyer. "Parametrizing Algebraic Curves". {{cite arXiv}}: Kërkohet |arxiv= (Ndihmë!); Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. ^ Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3246-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) p. 200