Derivati

Derivati i një funksioni me ndryshore reale mat ndjeshmërinë e një sasie për të ndryshuar (një vlerë funksioni ose ndryshorja e varur), që përcaktohet nga një tjetër sasi (ndryshorja e pavarur). Derivatet janë një mjet themelor në analizën matematike. Për shembull, derivati i një pozicioni të një objekti që lëviz, në lidhje me kohën, është shpejtësia e atij objekti: kjo mat se sa shpejt ndryshon pozicioni i objektit me kalimin e kohës.

Derivati i një funksioni me një ndryshore të vetme në një pikë të caktuar, kur ekziston, është pjerrësia e tangentes ndaj grafikut të funksionit në atë pikë. Tangentja është përafrimi më i mirë linear i funskionit pranë asaj pike të dhënë. Për këtë arsye, derivati shpesh përshkruhet si "shkalla e ndryshimit të çastit", raporti i ndryshimit të çastit në ndryshoren e varur me ndryshimin e çastit në ndryshoren e pavarur.

Derivatet mund të përgjithësohen edhe për funksionet me disa ndryshore reale. Në këtë përgjithësim, derivati interpretohet si një transformim linear grafiku i të cilit është përafrimi më i mirë linear me grafikun e funksionit origjinal. Matrica jakobiane është matrica që përfaqëson këtë transformim linear në lidhje me bazën e dhënë nga zgjedhja e ndryshoreve të pavarura dhe të varura. Mund të llogaritet në kushtet e derivateve të pjesshme në lidhje me ndryshoret e pavarura. Për një funksion me vlera reale me disa ndryshore, matrica jakobiane reduktohet në vektorin gradient.

Procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Procesi i anasjelltë quhet antidiferencim. Teorema themelore e analizës matematike thotë se antidiferencimi është i njëjtë me integrimin. Diferencimi dhe integrimi përbëjnë dy veprime themelore në analizën me funksione me një ndryshore.^[1]

Diferencimi është veprimi i llogaritjes së derivatit. Derivati i një funksioni f(x) të një ndryshoreje x është një matje e shkallës në të cilën vlera e funksionit ndryshon në lidhje me ndryshimin e ndryshores. Quhet derivati i f në lidhje me x. Nëse x dhe y janë numra realë, dhe nëse grafiku i f ndërtohet sipas x, derivati është pjerrësia e këtij grafiku në çdo pikë.

Rasti më i thjeshtë, përveç rastit të funksioni konstant, është kur y është një funksion linear i x, që do të thotë që grafiku i y pjesëtuar me x është një drejtëz. Në këtë rast, y = f(x) = m x + b, për numrat realë m dhe b, dhe pjerrësia m jepet nga

${\displaystyle m={\frac {{\text{ndryshimi në }}y}{{\text{ndryshimi në }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$

ku simboli Δ është shkurtim për shprehjen "ndryshimi në." Kjo formulë është e vërtetë sespe

${\displaystyle y+\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\,\Delta x+b=y+m\,\Delta x.}$

Prandaj, mqs

${\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x,}$

do të kemi

${\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x.}$

Kjo jep një vlerë ekzakte për pjerrësinë e një drejtëze. Nëse funksioni f nuk është linear (funksioni i tij nuk është drejtëz), megjithatë, atëherë ndryshimi në y përmbi ndryshimin në x ndryshon: diferencimi është një metodë për të gjetur një vlerë ekzakte për këtë shkallë ndryshimi për çdo vlerë të dhënë të x.

Shkalla e ndryshimit si vlerë limite

Figura 1. Vija tangente në (x, f(x))

Figura 2. Vija sekante kundrejt kurbës y= f(x) përcaktuar nga pikat (x, f(x)) and (x+h, f(x+h))

Figura 3. Vija tangente si limit i sekanteve

Figura 4. Ilustrim i animuar: vija tangente (derivati) si limit i sekanteve

Ideja, e ilustruar në figurat 1,2 dhe 3, është llogaritja e shkallës së ndryshimit si vlerë limite të raportit të diferencave Δy / Δx kur Δx bëhet pambarimisht i vogël.

Për derivatin përdoren zakonisht dy simbole të ndryshme, njëri që rrjedh nga Lajbnici dhe tjetri nga Lagranzhi.

Në simbolin e Laibnicit, një ndryshim pambarimisht i vogël i x shënohet me dx, dhe derivati i y në lidhje me x shkruhet

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$

(Shprehja e mësipërme lexohet si "derivati i y në lidhje me x", "d y ndaj d x", ose "d y përmbi d x".)

Në simbolin e Lagranzhit, derivati në lidhje me x i një funksioni f(x) shënohet f'(x) (lexohet si "f prim x") ose f_x'(x) (lexohet si "f prim x i x-it"), në rast paqartësie në lidhje me ndryshoren që derivohet. Simboli i Lagranzhit i atribuohet ndonjëhere gabimisht Njutonit.