Seznam pravilnih politopov

V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti.

Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.

Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je treba na to, da se z n-razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Zgled: trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.

V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom {}

Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.

Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.

ime	enakostranični trikotnik (2-simpleks)	kvadrat (2-ortopleks) (hiperkocka)	petkotnik	šestkotnik	sedemkotnik	osemkotnik
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Coxeter- Dinkin
slika
ime	devetkotnik	desetkotnik	enajstkotnik	dvanajstkotnik	trinajstkotnik	štirinajstkotnik
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Dinkin
slika
ime	petnajstkotnik	šestnajstkotnik	sedemnajstkotnik	osemnajstkotnik	devetnajstkotnik	dvajsetkotnik	...p-kotnik
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{p}
Dinkin
slika

Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon.

ime	enokotnik	dvokotnik
Schläflijev simbol	{1}	{2}
Coxeterjev diagram
slika

ime	pentagram	heptagram		oktagram	eneagrami		dekagram	...n-grami
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p/q}
Coxeter
slika

Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je    .

V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.

Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa.

ime	Schläfli {p,q}	Coxeter	slika (prozorna)	slika (telesna)	slika (kroglična)	stranske ploskve {p}	robovi	oglišče {q}	simetrijska grupa	dualni politop
tetraeder (3-simpleks) (trikotna piramida)	{3,3}					4 {3}	6	4 {3}	Td	(sebi)
kocka (3-kocka) (heksaeder)	{4,3}					6 {4}	12	8 {3}	Oh	oktaeder
oktaeder (3-ortopleks)	{3,4}					8 {3}	12	6 {4}	Oh	kocka
dodekaeder	{5,3}					12 {5}	30	20 {3}2	Ih	ikozaoeder
ikozaeder	{3,5}					20 {3}	30	12 {5}	Ih	dodekaeder

V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.

ime	Schläfli {p,q}	Coxeterjev diagram	Slika (sfera)	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q}	simetrija	dualni politop
hengonalni dieder	{1,2}			2 {1}	1	1 {2}	C1v (*22)	hengonalni hozoeder
hengonal hosoheder	{2,1}			1 {2}	1	2 {1}	C1v (*22)	hengonalni dieder
digonalni diheder Digonalni hosoeder	{2,2}			2 {2}	2	2 {2}	D2h (*222)	sebi
trigonalni hozoeder	{2,3}			3 {2}	3	2 {3}	D3h (*322)	trigonalni dieder
trigonalni dieder	{3,2}			2 {3}	3	3 {2}	D3h (*322)	trigonalni hozoeder
heksagonalni hozoeder	{2,6}			6 {2}	6	2 {6}	D3h (*622)	heksagonalni dieder

Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.

ime	slika (prosojna)	slika (telesna)	slika (sferna)	diagram zvezdnega mnogokotnika	Schläfli {p,q} in Coxeter-Dinkin	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q} verf.	χ	gostota	simetrija	dualni politop
majhen zvezdasti dodekaeder					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Ih	veliki dodekaeder
veliki dodekaeder					{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Ih	mali zvezdasti dodekaeder
veliki zvezdasti dodekaeder					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih	veliki ikozaeder
veliki ikozaeder					{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih	veliki zvezdasti dodekaeder

Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.

ime	Schläfli {p,q}	Coxeterjev diagram	slika	tip stranske ploskve {p}	slika oglišč {q}	simetrija	dualno
kvadratno tlakovanje (kvadril)	{4,4}			{4}	{4}	*442 (p4m)	(sebi)
trikotno tlakovanje (deltil)	{3,6}			{3}	{6}	*632 (p6m)	šestkotno tlakovanje
šestkotno tlakovanje (hekstil)	{6,3}			{6}	{3}	*632 (p6m)	trikotno tlakovanje

Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov

Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja. Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H². Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, da hiperbolično tlakovanje.

Vzorec:

Sferna (platonska)/Evklidska/hiperbolična (Poincaréjev disk) teselacije s Schläflijevimi simboli

p \ q	3	4	5	6	7	8	9
3	(tetraeder) {3,3}	(oktaeder) {3,4}	(ikozaeder) {3,5}	(trikotno tlakovanje) {3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}
4	(kocka) {4,3}	(kvadratno tlakovanje) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,9}
5	(dodekaeder) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,9}
6	(šestkotno tlakovanje) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	{6,9}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}	{7,9}
8	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}	{8,9}
9	{9,3}	{9,4}	{9,5}	{9,6}	{9,7}	{9,8}	{9,9}

Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.

• slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder.
• slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik.

Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je ${\displaystyle \chi =V+F-E-C\,}$ , ki pa je enaka 0 za vse oblike.

V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.

ime	Schläfli {p,q,r}	Coxeter	celice {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi {r}	oglišča {q,r}	dualni politop {r,q,p}
5-celica (4-simpleks) (pentahoron)	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(sebi)
8-celica (4-kocka) (teserakt)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16-celica
16-celica (4-ortopleks)	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	teserakt
24-celica	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(sebi)
120-celica	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600-celica
600-celica	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120-celica

5-celica	8-celica	16-celica	24-celica	120-celica	600-celica
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
modeli za (Petrijev mnogokotnik) v poševni ortografski projekciji
ortografske projekcije teles
tetraederska ovojnica	kockina ovojnica	kockina ovojnica	kubooktaederska ovojnica	ovojnica prisekanega rombskega triakontaedra	heksakisov popravljeni prirezani oktaeder
modeli prikazani v Schleglovih diagramih (projekcija v perspektivi)
(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)
modeli prikazani v stereogafskih projekcijah (3-sfera|hipersferna)

Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacija 3 sfere.

Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.

Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki se jih lahko imenuje Schläfli-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})

ime	mreža	telo	Schläflijev simbol {p, q,r} Coxeter-Dinkinov diagram	celice {p, q}	stranske ploskve {p}	robovi {r}	oglišča {q, r}	gostota	χ	simetrijska grupa	dualni {r, q,p}
ikozaederska 120-celica			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H4	mala zvezdna 120-celica
mala zvezdna 120-celica			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H4	ikozaederska 120-celica
velika 120-celica			{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H4	sebi dualni
imenitna 120-celica			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H4	velika zvezdna 120-celica
velika zvezdna 120-celica			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H4	imenitna 120-celica
imenitna zvezdna 120-celica			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H4	sebi dualni
velika imenitna 120-celica			{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H4	velika ikozaederska 120-celica
velika ikozaederska 120-celica			{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H4	velika imenitna 120-celica
imenitna 600-celica			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H4	velika imenitna zvezdna 120-celica
velika imenitna zvezdna 120-celica			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H4	imenitna 600-celica

 

Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H³.

ime	Schläfli simbol {p,q,r}	Coxeter	celica type {p,q}	stranska ploskev type {p}	slika robov {r}	slika oglišč {q,r}	χ	dualni
ikozaedrsko satovje	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	sebi dualen
red-5 kockino satovje	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
red-4 dodekaedersko satovje	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
red-5 dodekaedersko satovje	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	sebi dualno

Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge.

{5,3,4} (8 dodekaedrov pri oglišču)

{4,3,5} (20 kock pri oglišču)

{3,5,3} (12 ikozaedrov a oglišču)

V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi. V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.

5-politop se imenuje tudi politeron, če pa je neskončen, se imenuje satovje.

slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej.

slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča

slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.

V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov. poskus

ime	Schläfli {p1,...,pn−1}	Coxeter	k-stranske ploskve	tip facete	slika oglišč	dualni politop
n-simpleks	{3n−1}	...	${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}$	{3n−2}	{3n−2}	sebi dualni
n-kocka	{4,3n−2}	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3n−3}	{3n−2}	n-ortopleks
n-ortopleks	{3n−2,4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3n−2}	{3n−3,4}	n-kocka

pravilni politopi v 5 razsežnostih

ime	Schläfli Symbol {p,q,r,s} Coxeter	facete {p,q,r}	celice {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča	slika stranskih ploskev {s}	slika robov {r,s}	slika oglišč {q,r,s}
5-simpleks	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-kocka	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortopleks	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-simpleks

5-kocka

5-ortopleks

pravilni politopi v 6 razsežnostih

6-simpleks

6-kocka

6-ortopleks

pravilni politopi v 7 razsežnostih

7-simpleks

7-kocka

7-ortopleks

pravilni politopi v 8 razsežnostih

8-simpleks

8-kocka

8-ortopleks

pravilni politopi v 9 razsežnostih

9-simpleks

9-kocka

9-ortopleks

pravilni politopi v 10 razsežnostih

10-simpleks

10-kocka

10-ortopleks

V petih ali višjih razsežnostih ne obstajajo nekonveksni pravilni politopi.

Znane so tri neskončne pravilne teselacije (satovje), ki zapolnijo štirirazsežni prostor

projicirani del{4,3,3,4} (teseraktno satovje)

projicirani del {3,3,4,3} (heksadekahorno satovje)

projicirani del{3,4,3,3} (ikozite trahorno satovje)

Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja, ki lahko zapolni vsako razsežnost (peto ali višjo) z obliko hiperkockinih facet, ki so štiri okrog vsakega grebena.

Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H⁴

Pet konveksnih pravilnih satovij v H⁴ je:

Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H⁴:

V H⁴ sta znani tudi 2 vrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč {3, 4, 3, 4} in {4, 3, 4, 3}.

Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve. Razlika je samo v tem, da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora. Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe.

Apeirogon je pravilna neskončno dolga premica, razdeljena na enake dele, ki jih povezujejo vozlišča.

Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev. Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen. Ploščati apeiroeder samo tlakuje (pokrije) ravnino. Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura, ki deli prostor na dve področji.

Znanih je 30 pravilnih apeiroedrov v evklidskem prostoru.^[1]:§/E Vključujejo teselacije tipa ${\displaystyle \{4,4\},\{6,3\}}$  in ${\displaystyle \{3,6\}}$  in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa ${\displaystyle \{\infty ,3\}}$ , ${\displaystyle \{\infty ,4\}}$  in ${\displaystyle \{\infty ,6\}}$ . V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico.

• mnogokotnik
  • pravilni mnogokotnik
  • zvezdasti mnogokotnik
• polieder
  • pravilni polieder (5 pravilnih platonskih teles in 4 Kepler-Poinsotovi poliedri)
    • uniformni polieder
• polihoron
  • konveksni pravilni 4-politop (6 pravilnih polihoronov)
    • uniformni polihoron
  • Schläfli-Hessov polihoron (10 pravilnih zvezdastih polihoronov)
• teselacija
  • tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki
• pravilni politopi
  • uniformni politopi

• Pravilni politopi v treh razsežnostih (angleško) [http://paulbourke.net/geometry/platonic/
• Pravilni politopi v štirih razsežnostih Arhivirano 2011-12-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Pravilni politopi Arhivirano 2011-08-17 na Wayback Machine. (angleško)
• Projekt pravilnih politopov (angleško)