Inverzna funkcija

Inverzna funkcija (kratko tudi inverz) je v matematiki funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija ${\displaystyle f}$. Inverz funkcije ${\displaystyle f}$ označimo ${\displaystyle f^{-1}}$.

Funkcija ${\displaystyle f:{A\to B}}$ ima inverz samo, če je bijektivna. V tem primeru je inverzna funkcija ${\displaystyle f^{-1}:{B\to A}}$, ki je tudi bijektivna. Če funkcija ${\displaystyle f}$ preslika element ${\displaystyle x}$ v ${\displaystyle y}$, potem inverzna funkcija ${\displaystyle f^{-1}}$ preslikava ${\displaystyle y}$ v ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)}$

Zgledi:

• funkcija, ki deluje obratno kot prištevanje 3, je odštevanje 3:

${\displaystyle f(x)=x+3\iff f^{-1}(x)=x-3}$

• funkcija, ki deluje obratno kot množenje s 3, je deljenje s 3:

${\displaystyle f(x)=3x\iff f^{-1}(x)={\frac {x}{3}}}$

• funkcija, ki deluje obratno kot potenciranje na 3, je tretji koren:

${\displaystyle f(x)=x^{3}\iff f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$

Če izračunamo kompozitum funkcije ${\displaystyle f}$ in njenega inverza (v poljubnem vrstnem redu), dobimo identično funkcijo:

${\displaystyle f\circ f^{-1}=id}$

${\displaystyle f^{-1}\circ f=id}$

Oziroma drugače zapisano:

${\displaystyle f(f^{-1}(x))=x\,}$

${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x\,}$

Če funkcija ${\displaystyle f:{A\to B}}$ ni bijektivna, inverz ne obstaja. V takem primeru pogosto množici zožimo (nadomestimo s podmnožicama ${\displaystyle A_{1}}$ in ${\displaystyle B_{1}}$) tako, da je dobljena funkcija ${\displaystyle f:{A_{1}\to B_{1}}}$ bijektivna. Dobljena funkcija ima inverz, vendar samo v okviru zoženih množic ${\displaystyle A_{1}}$ in ${\displaystyle B_{1}}$. Tak inverz imenujemo delni inverz.

Zgled: Funkcija ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ni bijektivna funkcija ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ in zato nima inverza. Če se omejimo samo na nenegativna števila, pa ugotovimo, da je ta ista funkcija bijektivna kot funkcija ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$. V tem smislu obstaja tudi inverz, ki je enak ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {x}}}$.