Suprémum

1. Keďže ${\displaystyle K}$  je horným ohraničením množiny ${\displaystyle A}$ , musí platiť ${\displaystyle a<K}$  pre všetky ${\displaystyle a}$  z množiny ${\displaystyle A}$ .
2. ${\displaystyle K}$  má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu ${\displaystyle \varepsilon }$ , dostaneme ${\displaystyle K-\varepsilon }$ , čo už nesmie byť horným ohraničením.

Majme množinu ${\displaystyle A=\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\dots \right\}=\left\{{\frac {n-1}{n}},n\in \mathbb {N} \right\}}$ . Ukážeme, že ${\displaystyle 1}$  je jej suprémom.

1. Musí platiť, že ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}=1-{\frac {1}{n}}<1}$ , čo je pravda pre každé prirodzené číslo ${\displaystyle n}$ .
2. Musí platiť, že pre každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$  nebude hodnota ${\displaystyle 1-\varepsilon }$  horným ohraničením množiny ${\displaystyle A}$ . Teda má existovať také ${\displaystyle a\in A}$ , pre ktoré bude väčšie ako ${\displaystyle 1-\varepsilon }$ . Hodnoty ${\displaystyle a}$  môžeme zapísať ako ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$ , takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , že ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}>1-\varepsilon }$ . Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ , čo má určite celočíselné riešenie.