Suprémum

Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Suprémum množiny reálnych čísel ${\displaystyle A}$ je číslo ${\displaystyle K}$ také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny ${\displaystyle A}$. Supremum označujeme ${\displaystyle K=\sup A}$.

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

1. Keďže ${\displaystyle K}$ je horným ohraničením množiny ${\displaystyle A}$, musí platiť ${\displaystyle a<K}$ pre všetky ${\displaystyle a}$ z množiny ${\displaystyle A}$.
2. ${\displaystyle K}$ má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu ${\displaystyle \varepsilon }$, dostaneme ${\displaystyle K-\varepsilon }$, čo už nesmie byť horným ohraničením.

Majme množinu ${\displaystyle A=\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\dots \right\}=\left\{{\frac {n-1}{n}},n\in \mathbb {N} \right\}}$. Ukážeme, že ${\displaystyle 1}$ je jej suprémom.

1. Musí platiť, že ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}=1-{\frac {1}{n}}<1}$, čo je pravda pre každé prirodzené číslo ${\displaystyle n}$.
2. Musí platiť, že pre každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ nebude hodnota ${\displaystyle 1-\varepsilon }$ horným ohraničením množiny ${\displaystyle A}$. Teda má existovať také ${\displaystyle a\in A}$, pre ktoré bude väčšie ako ${\displaystyle 1-\varepsilon }$. Hodnoty ${\displaystyle a}$ môžeme zapísať ako ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$, takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, že ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}>1-\varepsilon }$. Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$, čo má určite celočíselné riešenie.