Diferencijalna mašina
Diferencijalna mašina je mehanički računar specijalne namjene, dizajniran za tabeliranje polinomnih funkcija. No, pošto se logaritamske i trigonometrijske funkcije mogu aproksimirati polinomima, tako ova mašina ima širi spektar funkcionalnosti.
Prvi od ovih uređaja je bio zamišljen 1786. od strane J.H. Müller-a ali nikada nije napravljen.
Diferencijalne mašine su bile zaboravljene a tek 1822. godine je Charles Babbage osvježio zaboravljeni koncept pismom Kraljevskom Astronomskom udruženju pod naslovom "Bilješka o primjeni mašina za izračunavanje veoma velikih matematičkih tablica." Ova mašina je koristila decimalni brojni sistem. Britanska vlada je inicijalno finansirala projekat, ali se kasnije povukla jer je Babbage konstantno zahtijevao nova ulaganja a bez vidnog progresa u gradnji mašine. Iako se Babbage posvetio dizajnu još opštije mašine pod nazivom Analitička mašina, ipak je u periodu između 1847. i 1849. napravio poboljšan dizajn mašine poznatiji kao Diferencijalna mašina 2. Inspirisan Babbage-ovim planovima, Per Georg Scheutz je napravio nekoliko diferencijalnih mašina od 1855. naovamo, jedna je prodana Britanskoj vladi 1859.
Bazirajući se na Babbage-ovim originalnim planovima, londonski Muzej nauke konstruirao je potpuno funkcionalnu Diferencijalnu mašinu 2 između 1989. i 1991. u čast 200-te godišnjice Babbage-ovog rođenja. 2000. godine napravljen je printer koji je Babbage originalno dizajnirao za diferencijalnu mašinu. Najzanimljivije je, međutim, da se Babbage-ov originalni koncept pokazao tačnim, uz veoma male greške (nastale vjerovatno slučajem, ili autorovim načinom zašite od nedozvoljenog korištenja). Od kada su završeni, i mašina i printer rade besprijekorno. Napravljeni su uz respekt prema tehnologiji 19. vijeka.
Princip diferencijalne mašine je Newton-ova metoda diferencijala (razlika). Ova metoda se može ilustrirati malim primjerom. Zamislimo kvadratni polinom
i neka trebamo da tabeliramo vrijednosti p(0), p(0,1), p(0,2), p(0,3), p(0,4) itd. Tabela ispod je konstruisana tako da: prva kolona sadrži vrijednost polinoma, druga sadrži vrijednost razlike dva lijeva susjeda u prvoj koloni i treća kolona sadrži razliku dva susjeda u drugoj koloni:
| x | p(x) = 2x2 − 3x + 2 | diff1(x) = ( p(x+0.1) - p(x) ) | diff2(x) = ( diff1(x+0.1) - diff1(x) ) |
|---|---|---|---|
| 0.00 | 2.00 | -0.28 | 0.04 |
| 0.10 | 1.72 | -0.24 | 0.04 |
| 0.20 | 1.48 | -0.20 | 0.04 |
| 0.30 | 1.28 | -0.16 | |
| 0.40 | 1.12 |
Primijetimo da su vrijednosti u trećoj koloni konstantne. Ovo nije puka slučajnost. Zapravo, ako pođemo od bilo kojeg polinoma n-tog stepena, n+1 kolona će biti uvijek konstantna. Ova činjenica dokazuje da metoda radi, kao što ćemo vidjeti kasnije.
Mi smo konstruisali ovu tabelu s lijeva na desno, ali možemo je nastaviti s desna na lijevo da bi smo izračunali više vrijednosti našeg polinoma.
Da bi smo izračunali p(0,5) koristićemo vrijednosti najniže dijagonale. Počećemo sa desnom najnižom kolonom sa vrijednošću 0,04. Nastavićemo sa slijedećom kolonom oduzimajući 0,04 od 0,16 i dobivamo 0,12. Dalje ćemo nastaviti sa prvom kolonom oduzimajući njenu vrijednost 1,12 od 0,12 koju smo dobili kao vrijednost druge kolone. Na taj način dobivamo da je p(0,5) = 1,12-0,12 = 1,0. Dakle, iteracijom možemo dobiti bilo koju vrijednost polinoma.
Ovaj proces može biti nastavljen u beskonačnost. Vrijednosti polinoma se dobivaju bez potrebe za množenjem. Diferencijalna mašina jedino treba da može oduzimati. Također je potrebno da može da spremi po 2 broja za svaki prolaz, odnosno, za tabeliranje polinoma stepena n, potrebno je da ima dovoljan spremnik za n brojeva.
Babbage-ova diferencijalna mašina 2, konačno napravljena 1991. mogla je da čuva sedam 31 cifrenih brojeva, i mogla je, dakle, da računa polinome 7. stepena do te preciznosti. Najbolje Scheutz-ove mašine mogle su da čuvaju 4 broja sa po 15 cifara.
