知人の子供（小学生10歳）を朝から夜まで預かることになりました。

・本人に「日常、または、ここ３ヶ月で、親に頼んでもなかなか連れて行ってもらえなかった場所」はどこか、と聞いてみては。
　たとえばですが、「ポケモンＧＯのレアポケモンが拾える公園」、「パズドラレーダーでの同様のレアモンスターがもらえる公園」や、「この夏のポケモン／妖怪ウォッチ映画」、「何かの運動系のコート」、「オリンピック競技で日本が金メダルをとった競技（卓球など）を体験できる場所」、「普段いけるお店より大型のお店（通り一遍の書店ではおいてない本がある大型書店、通り一遍の大型スーパーにない駿足が売っている靴屋、ジャニーズショップ、レコード店、ソニプラ、文具店など）」はどうでしょうか。
本人にも死角になっているところがまだもう少しありそうな気がします。まあ、駿足はちょっと高いですから予算オーバーしそうですね。
　
・喫茶店のパンケーキランチ、自治体のお祭りはどうでしょうか。
・どれもダメだったら最後は図書館かなあ。とにかく熱中症には気をつけないといけませんね。
　
・もちろん、都内なので予算さえあれば職業体験東京都 職業体験 子供の遊び場・お出かけスポット | いこーよ
キッザニア、千葉ですがカンドゥーが有名のようです。

・他にも予算さえ許すならピューロランドとか、大宮の鉄道博物館で運転体験とか。
携帯電話やスマホでデジカメで写真をとって歩いて、家で絵日記の宿題を仕上げるなども楽しいかもしれません。
・市民プールという手もありますが、同性の場合だけですね。異性で２人だけ、しかも相手があまり泳げないようだと困難があるので無理かと。