なぜ、「花咲かせじいさん」ではなく「花咲かじいさん」なのですか？

おじいさん自身は「花、咲け」と念じたからです。

語呂がいいから、そうしたんだと思います。

kotobank内、世界大百科事典 第２版より

江戸時代の赤本に〈枯木に花咲かせ爺〉とあるのが，本来の呼称であろう。同じ時代《燕石雑志》には〈花咲翁〉，《雛廼宇計木（ひなのうけぎ）》には〈花咲老夫〉と，漢籍風に記されている。〈花咲爺〉と後々呼ばれるようになったのは，これらの影響によるものであろう。

Wikipedia の花咲か爺のところには、こうあります。

日本では室町時代末期から江戸時代初期にかけて成立した勧善懲悪の話。朝鮮半島や中国にも似た話がある。　　江戸時代の赤本のタイトルは『枯木に花咲かせ爺』、燕石雑志では『花咲翁』になっている

「燕石雑志」というのは滝沢馬琴（曲亭馬琴って書かなきゃいけないのかな？　あの「南総里見八犬伝」の馬琴）が、昔話やなんかをまとめた本です。
早稲田大学が公開してくれているので、内容を見ることができます。
http://www.wul.waseda.ac.jp/kotenseki/html/i05/i05_00116/

その花咲か爺さんのところが↓です。
http://archive.wul.waseda.ac.jp/kosho/i05/i05_00116/i05_00116_0004/i05_00116_0004_p0037.jpg
（右の図が、抜粋したものです）

「ハナサキノオキナ」と、ふりがながふってあります。



その「燕石雑志」から「花咲翁」が、戦前の小学校の教科書「新制小学国語読本出典文抄」に、内容がほぼそのまま掲載されています（言葉遣いは改められている）。
国会図書館の近代デジタルライブラリーから。
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1438621/19

元にした「燕石雑志」でタイトルは、送りがなが無い漢字だけの表記で、そこに当時の文語調の読みをつけたのだと思われます。
このころから「ハナサカジジイ」の呼称が広まって（なんたって、教科書）、「ジジイ」→「ジイサン」となったのが、今なんじゃないでしょうか。




じゃあ、江戸時代では「ハサキノオキナ」で決まりだったのか、というとそういうわけでもなさそうで。
こちらは「国民伝説類聚. 前輯」という日本の伝説や説話を集めて解説したような本。
こちらも国会図書館の近代デジタルライブラリーから。
http://kindai.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1464801/90

どんな内容化までは分かりませんが、以下の四つのタイトルの本があったようです。

• 「めいよの翁　かれきに花さくぢぢひおきな」
• 「花さき爺　おい楽の栄華」
• 「枯木に花咲かせ親爺」
• 「花さきぢぢい」

このうち、「花さき爺　おい楽の栄華」という赤本が国会図書館のデジタルコレクションにありました。
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/2533946

見てみると、面白いですよ。