Movimento harmônico simples

 

 

Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma equação diferencial ordinária com seus coeficientes constantes, a partir da segunda lei de Newton e da lei de Hooke.

${\displaystyle F_{net}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$ 

onde m é a massa inercial com a oscilação do corpo, x é o vetor de deslocamento para o equilíbrio estático e k é a constante elástica, sendo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\left({\frac {k}{m}}\right)x}$ 

Abaixo, uma resolução da equação diferencial, obtendo-se um senoide como solução:

 

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$  onde

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$ 

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$ 

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$ 

Na solução, c₁ e c₂ são duas constantes determinadas nas condições iniciais e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma destas constantes leva a um padrão físico ao movimento: A é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio), ${\displaystyle \omega =2\pi f}$  é a sua frequência angular, e φ é uma fase. Usando as técnicas do cálculo diferencial, a velocidade e a aceleração têm uma das seguintes funções de tempo:

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \operatorname {sen}(\omega t-\varphi ),}$ 

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$ 

A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.\!}$ 

Já que ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ,

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$ 

e que T = 1/f onde T é o período de tempo,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$ 

Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isócrono (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).^[1]

A energia cinética K de um sistema em função do tempo t é:

${\displaystyle K(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi ),}$ 

e a energia potencial é:

${\displaystyle U(t)={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$ 

A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da energia mecânica é medida por:

${\displaystyle E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.}$ .^[4]

Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:

 

Considere um bloco de massa m equilibrado por uma mola constante k sob ação da gravidade. Na situação de equilíbrio, a força gravitacional e a força elástica se igualam. Matematicamente, ${\displaystyle k(y-y_{0})=-mg}$ , onde ${\displaystyle y_{0}}$  é a posição natural da mola e ${\displaystyle g}$  é a aceleração devido à gravidade. Note que ${\displaystyle y=y_{0}}$  se ${\displaystyle g=0}$  conforme se espera. Assim, a posição de equilíbrio se desloca por uma distância ${\displaystyle mg/k}$ .

O que ocorre quando o sistema é deliberadamente retirado da posição de equilíbrio e depois abandonado? A força exercida pela mola atua no sentindo de restaurar à posição natural: assim o objeto oscila verticalmente. Pela segunda lei de Newton podemos escrever

${\displaystyle m{\ddot {y}}=-mg-k(y-y_{0})}$ 

onde ${\displaystyle {\ddot {y}}}$  é a aceleração (vertical) da mola e ${\displaystyle y_{0}}$  é a posição natural (onde a força restauradora é nula). A força gravitacional sempre em direção ao solo enquanto a força da mola só aponta para o solo se ${\displaystyle y>y_{0}}$ .

Podemos simplificar através de uma mudança de variável. Seja ${\displaystyle kY=mg+k(y-y_{0})}$ , então a segunda derivada (aceleração) é ${\displaystyle {\ddot {Y}}={\ddot {y}}}$ , pois todos os demais termos são constantes. Assim, a equação se transforma na equação do movimento harmônico simples:

${\displaystyle m{\ddot {Y}}=-kY}$ .

Nesta variável o movimento é harmônico simples com período ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$ . Desta maneira, evidencia-se que o período de oscilação é independente tanto da amplitude quanto da aceleração gravitacional. Vamos supor que as condições iniciais sejam tais que

${\displaystyle Y(t)=Y(0)\cos(\omega t)}$ ,

onde ${\displaystyle Y(0)}$  é a amplitude e ${\displaystyle w=2\pi /T}$  é a frequência angular da oscilação. Para saber como o bloco se desloca no mundo físico devemos voltar para a variável inicial ${\displaystyle y(t)}$ . Assim

${\displaystyle y(t)=Y(t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}=Y(0)\cos(\omega t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}}$ 

é a equação de movimento de um bloco oscilando devido à força elástica de uma mola sob ação da gravidade.

A conclusão é que (1) o movimento tem o mesmo período independente da amplitude e da gravidade^[1], e (2) o bloco oscila com amplitude ${\displaystyle Y(0)}$ , mas entre os pontos ${\displaystyle y_{max}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}+Y(0)}$  e ${\displaystyle y_{min}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}-Y(0)}$ .

O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado como uma projeção matemática do movimento circular uniforme. Se um objeto se movimenta com uma velocidade angular ω ao redor de um círculo de um raio r centralizado de uma origem de um plano de x-y, este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude r e uma frequência angular ω.^[1]

 

Considere um objeto preso a uma haste inextensível oscilando sob ação da força gravitacional. A este sistema denominamos Pêndulo Simples. De maneira geral, atuam sob o objeto a força ${\displaystyle T}$  de tração da haste, que o mantém oscilando em um arco de círculo a uma distância fixa ${\displaystyle L}$  do ponto fixo que prende a haste ao teto; e também a força gravitacional ${\displaystyle mg}$ . Decompomos a força gravitacional de forma que conhecemos a componente na direção da força de tração, que nos fornece ${\displaystyle T=mg\cos(\theta )}$ , e também a componente responsável pelo movimento

${\displaystyle F=-mg\sin(\theta )}$ 

Assim, a força restaura o objeto para a situação de ângulo nulo, ${\displaystyle \theta =0}$ , mas o problema se torna mais difícil por tratar com uma função trigonométrica.

Iremos então tomar um caso especial, a situação de pequenos ângulos. Neste caso, ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$  e eliminamos a função trigonométrica. Note que a distância horizontal é dada por ${\displaystyle x=L\sin(\theta )\approx L\theta }$  de forma que neste regime (e apenas neste regime), podemos escrever:

${\displaystyle F=-mg\theta =-{\biggl (}{\frac {mg}{L}}{\biggr )}x}$ .

 

Compare esta expressão à Lei de Hooke. Um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear. A constante ${\displaystyle k}$  de reconstituição seria igual à ${\displaystyle mg/L}$ . Substituindo o valor de ${\displaystyle k}$  na fórmula do período de um movimento harmônio simples se obtém

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$ ,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{mg/L}}}}$ ,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$ ^[1].

Resumidamente, para deduzir a equação do período, estabelece-se que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim é possível aproximar o valor do ângulo com seu seno.

• Dinâmica
• Pêndulo
• Movimento circular uniforme
• Movimento harmônico (física)