Lista de regras de inferência

${\displaystyle \varphi \vdash \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \lnot \varphi \,\!}$ 

Redução ao absurdo (Relacionada à lei do terceiro excluído)

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \lnot \varphi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \lnot \lnot \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \lnot \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \land \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \chi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \chi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}\,\!}$ 

${\displaystyle \varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi (\alpha :=\beta )}}\,\!}$ 

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \,\!}$ 

Restrição: ${\displaystyle \beta \,\!}$  não pode ocorrer livre em ${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \,\!}$  ou em qualquer hipótese vigente.

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \!}$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi {(\alpha :=\beta )}}}\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi (\alpha :=\beta )}}\,\!}$ 

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}$ 

A esta regra coloca-se a restrição de que ${\displaystyle \beta \,\!}$  deve ser substituível por ${\displaystyle \alpha ,\!}$  em ${\displaystyle \varphi \,\!}$ .

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}$ 

${\displaystyle {\underline {\varphi (\alpha :=\beta )\vdash \psi }}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi \,\!}$ 

Restrição: ${\displaystyle \beta \,\!}$  não pode ocorrer livre em ${\displaystyle \exists \alpha \varphi \,\!}$ , em ${\displaystyle \psi \,\!}$  ou em qualquer hipótese vigente.

Por meio das regras de inferência diretas e hipotéticas podemos demonstrar vários raciocínios bastante recorrentes. Estes raciocínios, uma vez demonstrados, podem ser usados como regras de inferência diretas. Elas não são necessárias, mas são bastante úteis, tornando nossas derivações muito mais sucintas.

Agora ampliaremos nossa lista de regras de inferência, além de fazer suas respectivas demonstrações.

${\displaystyle \alpha \vdash \alpha \,\!}$ 

1.   ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Premissa 2.   ${\displaystyle \neg \neg \alpha \,\!}$    1 DN 3.   ${\displaystyle \alpha \,\!}$    2 DN

${\displaystyle \left\{\alpha \to \beta ,\neg \beta \right\}\vdash \neg \alpha \,\!}$ 

1.   ${\displaystyle \alpha \to \beta \,\!}$    Premissa 2.   ${\displaystyle \neg \beta \,\!}$    Premissa   3.     ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Hipótese 4.     ${\displaystyle \beta \,\!}$    1,3 MP 5.     ${\displaystyle \beta \land \neg \beta \,\!}$    2,4 C 6.   ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$          3,5 RAA

${\displaystyle \alpha \vdash \beta \to \alpha \,\!}$ 

1.   ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Premissa   2.     ${\displaystyle \beta \,\!}$    Hipótese 3.     ${\displaystyle \alpha \,\!}$    1 R 4.   ${\displaystyle \beta \to \alpha \,\!}$    2,3 RPC

Utilizaremos o Modus Tollens como regra de inferência.

${\displaystyle \alpha \to \beta \vdash \neg \beta \to \neg \alpha \,\!}$ 

1.   ${\displaystyle \alpha \to \beta \,\!}$    Premissa   2.     ${\displaystyle \neg \beta \,\!}$    Hipótese 3.     ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$    1,2 MT 4.   ${\displaystyle \neg \beta \to \neg \alpha \,\!}$    2,3 RPC

${\displaystyle \left\{\alpha ,\neg \alpha \right\}\vdash \beta }$ 

1.   ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Premissa 2.   ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$    Premissa 3.   ${\displaystyle \alpha \lor \beta \,\!}$    1 E 4.   ${\displaystyle \beta \,\!}$    2,3 SD

${\displaystyle \neg \alpha \vdash \alpha \to \beta }$ 

1.   ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$    Premissa   2.     ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Hipótese 3.     ${\displaystyle \beta \,\!}$    1,2 CTR 4.   ${\displaystyle \alpha \to \beta \,\!}$    2,3 RPC

${\displaystyle \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\vdash \neg \alpha \land \neg \beta \,\!}$ 

01.   ${\displaystyle \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\,\!}$    Premissa   02.     ${\displaystyle \alpha \,\!}$    Hipótese 03.     ${\displaystyle \alpha \lor \beta \,\!}$    2 E 04.     ${\displaystyle \left(\alpha \lor \beta \right)\land \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\,\!}$    1,3 C 05.   ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$                                2,4 RAA 06.     ${\displaystyle \beta \,\!}$    Hipótese 07.     ${\displaystyle \alpha \lor \beta \,\!}$    6 E 08.     ${\displaystyle \left(\alpha \lor \beta \right)\land \neg \left(\alpha \lor \beta \right)\,\!}$    1,7 C 09.   ${\displaystyle \neg \beta \,\!}$                        6,8 RAA 10.   ${\displaystyle \neg \alpha \land \neg \beta \,\!}$                  5,9 C

${\displaystyle \neg \left(\alpha \land \beta \right)\vdash \neg \alpha \lor \neg \beta \,\!}$ 

01.   ${\displaystyle \neg \left(\alpha \land \beta \right)}$         Premissa   02.     ${\displaystyle \neg \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)}$        Hipótese     03.       ${\displaystyle \neg \alpha \,\!}$    Hipótese   04.       ${\displaystyle \neg \alpha \lor \neg \beta }$    3 E 05.       ${\displaystyle \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)\land \neg \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)}$    5,2 C 06.     ${\displaystyle \neg \neg \alpha }$                                              3,5 RAA 07.     ${\displaystyle \alpha \,\!}$                                              6 DN 08.       ${\displaystyle \neg \beta \,\!}$    Hipótese   09.       ${\displaystyle \neg \alpha \lor \neg \beta }$    8 E 10.       ${\displaystyle \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)\land \neg \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)}$    9,2 C 11.     ${\displaystyle \neg \neg \beta }$                      8,10 RAA 12.     ${\displaystyle \beta \,\!}$                      11 DN 13.     ${\displaystyle \alpha \land \beta \,\!}$                      7,12 C 14.     ${\displaystyle \left(\alpha \land \beta \right)\land \neg \left(\alpha \land \beta \right)}$                      13,1 C 15.   ${\displaystyle \neg \neg \left(\neg \alpha \lor \neg \beta \right)}$                          2,14 RAA 16.   ${\displaystyle \neg \alpha \lor \neg \beta }$                          15 DN

• DN - Dupla Negação
• SD - Sislogismo Disjuntivo
• C - Conjunção
• S - Separação
• E - Expansão
• MP - Modus Ponens
• BC - Bicondicionais para bicondicionais
• RAA - Redução ao absurdo
• RPC - Regra de prova condicional

As regras acima podem ser colocadas na seguinte tabela. ^[1] A coluna de "Tautologias" mostra como interpretar a notação de determinada regra.

Regras de Inferência	Tautologias	Nomes
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q}$	Modus ponens
${\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p}$	Modus tollens
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))}$	Associativa
${\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)}$	Comutativa
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (\ p\leftrightarrow q)}$	Introdução do bicondicional
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))}$	Exportação
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)}$	Transposição da contrapositiva
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)}$	Silogismo hipotético
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)}$	Implicação material
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))}$	Distributiva
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (p\wedge q)}$	Absorção
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q}$	Silogismo disjuntivo
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)}$	Introdução da disjunção
${\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p}$	Eliminação da conjunção
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)}$	Introdução da conjunção
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (\neg \neg p)}$	Dupla negação
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p}$	Simplificação da disjunção
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)}$	Resolução

Todas as regras usam operadores lógicos básicos. A tabela completa de "operadores lógicos" é mostrada por uma tabela verdade, dando valoração verdade a todas as possíveis (16) funções verdade para 2 variáveis booleanas (p,q):

• Regra de inferência
• Axioma
• Axioma esquemático

 

O Wikilivros tem um livro chamado Lógica