Lei de Biot-Savart

 

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.^[2]

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$ 

Nessa equação, ${\displaystyle dl'}$  é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, ${\displaystyle \mathbf {I} }$  é o vetor corrente elétrica e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$  é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle dl'}$ , cuja posição é ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ , ao ponto de cálculo do campo ${\displaystyle \mathbf {r} }$ :

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}={\frac {\boldsymbol {\eta }}{|{\boldsymbol {\eta }}|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}$ ,

e a constante ${\displaystyle \mu _{0}}$  é a chamada permeabilidade magnética do vácuo

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:



${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {K} \mathbf {(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}da'}$ 

Onde ${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} }$  é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:



${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{dl_{\perp }}}}$ 

Para distribuições tridimensionais de corrente: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}d\tau '}$ 

Onde ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} }$  é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{da_{\perp }}}}$ 

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle d\mathbf {l'} }$  deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área ${\displaystyle d\mathbf {a'} }$  no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume ${\displaystyle d\mathbf {\tau '} }$  no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.^[3]

 

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$  passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto ${\displaystyle P}$  a uma distância ${\displaystyle R}$  do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial ${\displaystyle d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }$ , para ${\displaystyle R}$  fixo, está contido em círculos de raio ${\displaystyle R}$  em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$ . Trabalhando em termos do ângulo ${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle dl'\sin \alpha =dl'\cos \theta }$ 

Como ${\displaystyle l'=R\tan \theta }$ : ${\displaystyle dl'={\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }$ 

E como ${\displaystyle R=r\cos \theta }$ : ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}}$ 

Para um trecho de fio indo de ${\displaystyle \theta _{1}}$  a ${\displaystyle \theta _{2}}$ :



${\displaystyle \mathbf {B(r)} ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}\right)\left({\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}\right)\cos \theta d\theta ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})}$ 



Se o fio for infinito, então ${\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {\pi }{2}}}$  e ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi }{2}}}$  e a expressão fica apenas: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$  ^[4]

 

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\mathbf {\hat {z}} ,}$ 

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: ${\displaystyle \mathbf {B({\textrm {centro}})} ={\sqrt {2}}{\frac {\mu _{0}I}{\pi R}}\mathbf {\hat {z}} }$ 

onde ${\displaystyle R}$  é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo ${\displaystyle \theta _{1}=-\theta _{2}=-{\frac {\pi }{n}}}$ . Então obtemos: ${\displaystyle \mathbf {B} =n{\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\mathbf {\hat {z}} }$  ^[3]

 

Consideremos uma espira circular de raio ${\displaystyle R}$  percorrida por uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$ . Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância ${\displaystyle z}$  do eixo. Lembrando que: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$ 

No caso da espira circular: ${\displaystyle \eta ={\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}$ 

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {R}{r}}={\frac {R}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}}$ 

Logo: ${\displaystyle \mathbf {B} ({\text{eixo}})=\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {dl}{\eta ^{2}}}\sin \alpha =\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I{\frac {R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}}{2}}I{\frac {R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\mathbf {\hat {z}} }$ ^[5]

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

${\displaystyle d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} \times {\hat {\boldsymbol {r}}}}{r^{2}}}}$ 

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor ${\displaystyle d\mathbf {l} \times {\hat {\mathbf {r} }}}$ , que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.^[5]

• Lei de Ampère
• Eletromagnetismo
• Produto vetorial
• Integral de linha
• Campo magnético
• Potencial magnético