Curva de Bézier

 

 

 

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

${\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)}$ 

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos ${\displaystyle n+1}$  pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$  são coeficientes binomiais. Por exemplo, para a resolução de ${\displaystyle (t+(1-t))^{2}}$  usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio ${\displaystyle (t+(1-t))^{3}}$  usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle ${\displaystyle B_{i}}$  podem ser escolhidos aleatoriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

${\displaystyle P_{in}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$ 

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

${\displaystyle {B}(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{in}(t)*{B}_{i}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}*{B}_{i}}$ 

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que ${\displaystyle t\in \Re ,0\leq t\leq 1}$ , ${\displaystyle B_{i}}$  é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.^[2]

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{0}+t\mathbf {B} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$ 

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {B} _{0}+2t(1-t)\mathbf {B} _{1}+t^{2}\mathbf {B} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$ 

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {B} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {B} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {B} _{2}+t^{3}\mathbf {B} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$