Congruência (álgebra)
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Setembro de 2013) |
Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :.
Breve história
editarCarl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.
Propriedade da congruência
editar- Se então existe um inteiro k tal que a = b + km.
- Sempre ;
- Se , então: ;
- Se e , então: ;
- Se e , então
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se , então: , onde c é um inteiro;
- Se e , então: ;
- Se e , então: ;
- Se e , então: ;
Observe que desta última propriedade acima deriva que:
- Se e é um número inteiro positivo, então: ;
- Se , então: , onde d é o máximo divisor comum de c e m.
- Se e e , então:
;
;
(Isto vale não apenas para dois fatores, como no caso, a e b).
Devido a uma propriedade das potências e outra das congruências já apresentadas:
- Se , então .
Congruência linear
editarChamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: .
Propriedade da congruência linear
editar- Tenhamos uma congruência e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.
Equação Diofantina
editarUma equação diofantina é uma equação da forma . Seja o MDC de e , se não divide então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: e , onde e são soluções particulares e é qualquer inteiro.