Limite

 Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$  uma sequência de números reais. A expressão: $${\displaystyle \lim x_{i}=L}$$  significa que, para índices ${\textstyle i}$  suficientemente grandes, os termos ${\textstyle x_{i}}$  da sequência estão arbitrariamente próximos do valor ${\textstyle L.}$  Neste caso, dizemos que o limite da sequência é ${\textstyle L.}$ 

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de ${\textstyle L}$  os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice ${\textstyle i}$ , os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de ${\textstyle L}$  quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de ${\textstyle L}$  (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto ${\textstyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$  com ${\textstyle \epsilon >0}$ , o desafiado deve exibir um número natural ${\displaystyle N}$  tal que ${\textstyle \forall i}$  com ${\textstyle i>N}$  tem-se que ${\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$ .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:^[1] $${\displaystyle \forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon }$$ 

 Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que ${\textstyle f(x)}$  é uma função real e que ${\textstyle c}$  é um número real. A expressão: $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$$  significa que ${\textstyle f(x)}$  se aproxima tanto de ${\textstyle L}$  quanto quisermos, quando se toma ${\textstyle x}$  suficientemente próximo de ${\textstyle c}$ .^[2][3] Quando tal acontece dizemos que o limite de ${\textstyle f(x)}$ , à medida que ${\textstyle x}$  se aproxima de ${\textstyle c}$ , é ${\textstyle L}$ .

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que ${\textstyle f(c)=L}$ , nem sequer que ${\textstyle f(x)}$  esteja definida em ${\textstyle c}$ . Agora, no caso de ${\textstyle f(c)}$  existir (estar definido) e $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$$  diz-se que ${\textstyle f(x)}$  é contínua no ponto ${\textstyle c}$ .

Consideremos $${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$$  à medida que ${\textstyle x}$  se aproxima de ${\textstyle 2}$ , i.e busquemos calcular $${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}}$$  Neste caso, ${\textstyle f(x)}$  está definida em ${\textstyle 2}$  e é igual ao seu limite: ${\textstyle 0,\!4,}$  vejamos:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	${\displaystyle \rightarrow }$  0,4 ${\displaystyle \leftarrow }$	0,3998	0,3988	0,3882

À medida que ${\textstyle x}$  aproxima-se de ${\textstyle 2}$ , ${\textstyle f(x)}$  aproxima-se de ${\textstyle 0,\!4}$  e consequentemente temos $${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4}$$  Ou seja, ${\textstyle f(x)}$  é contínua no ponto ${\textstyle 2}$ .

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua): $${\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.}$$  O limite de ${\textstyle g(x)}$  à medida que ${\textstyle x}$  se aproxima de ${\textstyle 2}$  é ${\textstyle 0,\!4}$  (tal como no exemplo acima), mas $${\displaystyle g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)}$$  e consequentemente ${\textstyle g(x)}$  não é contínua em ${\textstyle x=2}$ .

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua: $${\displaystyle h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}$$  Apesar de ${\textstyle h(x)}$  não estar definida em ${\textstyle x=1}$ , pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que $${\displaystyle \lim _{x\to 1}h(x)=2}$$ 

h(0,9)	h(0,99)	h(0,999)	h(1.0)	h(1,001)	h(1,01)	h(1,1)
1,95	1,99	1,999	${\displaystyle \rightarrow }$  não está definido ${\displaystyle \leftarrow }$	2,001	2,010	2,10

Observa-se que ${\textstyle x}$  pode ser tomado tão próximo de ${\textstyle 1}$  quanto quisermos, sem no entanto ser igual a ${\textstyle 1}$ , donde infere-se que o limite de ${\textstyle f(x)}$  é ${\textstyle 2}$ .^[3]

 

Sejam ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$  um intervalo de números reais, ${\displaystyle a\in I}$  e ${\displaystyle f:I-\{a\}\to \mathbb {R} }$  uma função real definida em ${\displaystyle I-\{a\}.}$  Escrevemos $${\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)}$$  quando para qualquer que seja ${\displaystyle \varepsilon >0}$  existe um ${\displaystyle \delta >0}$  tal que para todo ${\displaystyle x\in I,}$  satisfazendo ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}$  vale ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$ ^[1]. Ou, usando a notação simbólica:

$${\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$$ 

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7}$  Supondo um ${\displaystyle \epsilon >0}$ 

${\displaystyle |(3x+1)-7|<\epsilon }$ 

${\displaystyle |3x-6|<\epsilon }$ 

Dividindo por 3 em ambos os lados:

${\displaystyle |x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ 

O que prova o limite com ${\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0}$ 

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2}$ 

Supondo um ${\displaystyle \epsilon >0}$ 

${\displaystyle |1+x-2|<\epsilon }$ 

${\displaystyle |x-1|<\epsilon }$ 

E isso completa a prova com ${\displaystyle \delta =\epsilon >0}$ 

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: ${\displaystyle f(x)=2x+1}$  e imaginando ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: ${\displaystyle f(0)=2.0+1}$  que nos dá: ${\displaystyle f(0)=0+1=1,}$  ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: ${\displaystyle f(x)=2x+1}$  nos reais, calcular o limite da função ${\displaystyle f}$  quando ${\displaystyle x\to 1.}$  Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função ${\displaystyle f(x)}$  descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por ${\displaystyle |x-a|,}$  não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:^[4]

Seja ${\displaystyle f}$  uma função do tipo:

$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle x\longmapsto f(x)=z}$$ 

Em que ${\displaystyle x}$  é um vector com ${\displaystyle n}$  coordenadas e ${\displaystyle z}$  um número real. Se ${\displaystyle a}$  for um vector com ${\displaystyle n}$  coordenadas, então:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon }$$ 

Em que ${\displaystyle d(x,a)=\|x-a\|}$  é a função distância.

Uma função do tipo:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=z}$$ 

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=xy}$$ 

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L}$$ 

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos ${\displaystyle yy,}$  ou seja,

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=L}$$ 

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos ${\displaystyle xx,}$  ou seja,

$${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=L}$$ 

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0}$$ 

Ou seja, provar que

$${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon }$$ $${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon }$$ 

Vamos procurar escrever ${\displaystyle \delta }$  em função de ${\displaystyle \epsilon .}$ 

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}}$$ $${\displaystyle |xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}}$$ 

Se escolhermos ${\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }},}$  então, pela segunda desigualdade, ${\displaystyle |xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,}$  o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}}$$ 

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$${\displaystyle x=\left(\cos \alpha \right)t}$$ 

$${\displaystyle y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t}$$ 

a função toma a forma

$${\displaystyle f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}}$$ 

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

 

O wikilivro Cálculo (Volume 1) tem uma página intitulada Limites e Continuidade

• Limite de uma função
• Lista de limites
• Função contínua