Variação quadrática

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Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Suponha que ${\displaystyle X_{t}}$ é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ e com um índice de tempo ${\displaystyle t}$ que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como ${\displaystyle [X]_{t}}$, definido como

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

em que ${\displaystyle P}$ varia entre as partições do intervalo ${\displaystyle [0,t]}$ e a norma da partição ${\displaystyle P}$P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo ${\displaystyle t>0}$ no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ é

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t}).}$^[1]

Diz-se que um processo ${\displaystyle X}$ tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg ${\displaystyle X}$ tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de ${\displaystyle X}$. Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de ${\displaystyle X_{t}}$ referente a ${\displaystyle t}$ é denotado por ${\displaystyle X_{t-}}$ e o salto de ${\displaystyle X}$ no tempo ${\displaystyle t}$ pode ser escrito como ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$. Então, a variação quadrática é dada por

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, ${\displaystyle P}$ é uma partição do intervalo ${\displaystyle [0,t]}$ e ${\displaystyle V_{t}(X)}$ é a variação de ${\displaystyle X}$ sobre ${\displaystyle [0,t]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

Pela continuidade de ${\displaystyle X}$, este desaparece no limite conforme ${\displaystyle \Vert P\Vert }$ vai a zero.

A variação quadrática de um movimento browniano padrão ${\displaystyle B}$ existe e é dada por ${\displaystyle [B]_{t}=t}$. Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,}$

em que ${\displaystyle B}$ é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

que pode ser usada para computar ${\displaystyle [X,Y]}$.

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

em que${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática ${\displaystyle [M]}$ de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$, tal que ${\displaystyle M^{2}-[M]}$ é um martingale local. Uma prova da existência de ${\displaystyle [M]}$ (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.^[2]

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

Este resultado se mantém sempre que ${\displaystyle M}$ for um martingale quadrado integrável càdlàg e ${\displaystyle H}$ for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local ${\displaystyle M}$ começando em zero, com máximo denotado por ${\textstyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}|M_{s}|}$ e qualquer número real ${\displaystyle p\geq 1}$, a desigualdade é

${\displaystyle c_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \mathbb {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

Aqui, ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$ são constantes que dependem da escolha de ${\displaystyle p}$, mas não do martingale ${\displaystyle M}$ ou do tempo ${\displaystyle t}$ usado. Se ${\displaystyle M}$ for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer ${\displaystyle p>0}$.

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como ${\displaystyle {\langle M\rangle }_{t}}$ e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que ${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$ é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

• Variação total