Znak liczby

Pojęcie znaku można zdefiniować w każdym ciele uporządkowanym ${\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,\leqslant ),}$  tzn. takim ciele ${\displaystyle (\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1),}$  w którym jest określona relacja ${\displaystyle \leqslant }$  będąca porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi:

• jeśli ${\displaystyle a\leqslant b,}$  to ${\displaystyle a+c\leqslant b+c,}$ 
• jeśli ${\displaystyle 0\leqslant a}$  i ${\displaystyle 0\leqslant b,}$  to ${\displaystyle 0\leqslant a\cdot b.}$ 

Innym sposobem definiowania porządku w ciele jest wskazanie zbioru (stożka) elementów dodatnich, tj. największego podzbioru niezerowych elementów, który jest zamknięty na dodawanie i mnożenie w ciele.

Przez analogię do liczb rzeczywistych, w ciałach uporządkowanych ${\displaystyle (K,+,\cdot ,0,1,\leqslant )}$  elementy ${\displaystyle a\in K,}$  dla których ${\displaystyle a>0}$  nazywamy elementami dodatnimi.

Niemożność określenia znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby ${\displaystyle 5+4i}$ ) wynika z tego, że nie istnieje żaden porządek liniowy ${\displaystyle \leqslant ^{*}}$  w ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$  który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Inaczej mówiąc, ciało liczb zespolonych nie jest ciałem uporządkowanym. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, tymczasem ${\displaystyle i^{2}=-1<0}$  (gdzie ${\displaystyle i}$  jest jednostką urojoną).

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej można jednak określić funkcję signum.

Zobacz hasło znak w Wikisłowniku

• Brahmagupta
• signum