Konstrukcje klasyczne
Konstrukcje klasyczne, konstrukcje platońskie[1][2], konstrukcje przy użyciu cyrkla i liniału – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki (liniału).
Zasady konstrukcji
edytujObydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane:
- dwie proste,
- prostą i okrąg,
- dwa okręgi,
można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić, że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.
Słynne problemy starożytności
edytujW starożytnej Grecji szczególnie słynne były trzy problemy konstrukcyjne:
- trysekcja kąta – podział dowolnego kąta na trzy równe części;
- podwojenie sześcianu – wyznaczenie krawędzi sześcianu o objętości dwa razy większej niż sześcian dany;
- kwadratura koła – konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła.
Nie mogą być rozwiązane przy pomocy cyrkla i linijki[1]. Dowód tego podał w 1837 roku Pierre Laurent Wantzel; jest to wniosek z twierdzenia noszącego dziś jego nazwisko. Konstrukcje te mogą być jednak rozwiązane w przybliżeniu z dowolną założoną dokładnością[potrzebny przypis]. Próbowano też zrealizować inne niewykonywalne konstrukcje, np.:
- siedmiokąta foremnego;
- rektyfikacji okręgu – konstrukcji odcinka o długości równej obwodowi danego okręgu, powiązanej z kwadraturą koła.
Szczególne odmiany konstrukcji klasycznych
edytujKonstrukcje samą linijką
edytujJeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera)[3].
Konstrukcje samym cyrklem
edytujJeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominie rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego)[1].
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ a b c Encyklopedia szkolna ↓, s. 108.
- ↑ konstrukcja geometryczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-03-18].
- ↑ Encyklopedia szkolna ↓, s. 109.
Bibliografia
edytuj- Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 108, ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne
edytuj- Stanisław Majchrzak, O konstruowaniu środka okręgu linijką, „Delta”, grudzień 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-12-05].
- Eric W. Weisstein, Geometric Construction, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].