Ślad (algebra liniowa)

Niech ${\displaystyle A}$  będzie macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle n.}$  Śladem macierzy ${\displaystyle A}$  nazywamy wielkość

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}.}$ 

Stosuje się również oznaczenia ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$  oraz ${\displaystyle \operatorname {trace} (A).}$  Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech ${\displaystyle A,B\in M_{n}(K)}$  oraz ${\displaystyle r\in K,}$  wówczas:
  • ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$  – addytywność operacji liczenia śladu,
  • ${\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)}$  – jednorodność operacji liczenia śladu.
• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T}).}$ 

• Jeśli ${\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},}$  to

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$ 

• Jeśli ${\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n},}$  to

${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)}$  (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC).}$ 

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej ${\displaystyle P}$  zachodzi

${\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A).}$ 

Niech ${\displaystyle f\colon V\to V}$  będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni ${\displaystyle V.}$  Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli ${\displaystyle X}$  jest ${\displaystyle n}$  wymiarową przestrzenią wektorową, a ${\displaystyle \theta }$  – n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu ${\displaystyle T}$  można przyporządkować formę n-liniową:

${\displaystyle \theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\dots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\dots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\dots ,Tx_{N})}$ 

Forma ta jest równa ${\displaystyle \tau \theta ,}$  a stałą proporcjonalności można nazwać ${\displaystyle \operatorname {tr} T.}$  Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$  będą wartościami własnymi macierzy ${\displaystyle A.}$  Ponieważ ${\displaystyle A}$  można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.}$ 

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.}$ 

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech ${\displaystyle H}$  będzie przestrzenią Hilberta, ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$  jej bazą ortonormalną oraz niech

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB:A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\},}$ 

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(H)}$  oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni ${\displaystyle H,}$  tj. takich operatorów liniowych i ciągłych ${\displaystyle A\colon H\to H,}$  że

${\displaystyle \|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty .}$ 

Funkcja ${\displaystyle \operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C} ,}$  dana wzorem

${\displaystyle \operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle }$ 

nazywana jest śladem.

Operatory należące do ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)}$  nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni ${\displaystyle H.}$  W przypadku, gdy ${\displaystyle H}$  jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni ${\displaystyle L_{p}}$  na algebrach von Neumanna.

• F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course In Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985. Brak numerów stron w książce