Kwadratury Gaussa

Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$ i węzłów interpolacji ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]}$ aby wyrażenie

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i})}$

najlepiej przybliżało całkę

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)dx,}$

gdzie ${\displaystyle f}$ jest dowolną funkcją określoną na odcinku ${\displaystyle [a,b],}$ a ${\displaystyle w}$ jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

1. ${\displaystyle w(x)\geqslant 0,}$
2. ${\displaystyle \forall _{k\in \mathbb {N} }\int \limits _{a}^{b}x^{k}w(x)dx}$ jest skończona,
3. Jeżeli ${\displaystyle p}$ jest wielomianem takim, że ${\displaystyle \forall _{x\in [a,b]}\;p(x)\geqslant 0,}$ to jeśli ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=0,}$ mamy wtedy ${\displaystyle p\equiv 0.}$

Określmy iloczyn skalarny z wagą

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)g(x)dx.}$

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego, jeśli ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]}$ są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego ${\displaystyle p_{n}(x)}$ oraz ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$ są rozwiązaniami układu równań:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}p_{0}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{0}(t_{n})w_{n}=&\langle p_{0},p_{0}\rangle _{w}\\p_{1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{1}(t_{n})w_{n}=&0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\p_{n-1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{n-1}(t_{n})w_{n}=&0\end{matrix}}\right.,}$

to dla każdego wielomianu ${\displaystyle p}$ stopnia nie większego niż ${\displaystyle 2n-1}$ zachodzi

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}p(t_{i}).\qquad (*)}$

Ponadto ${\displaystyle w_{i}>0.}$

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$ oraz ciągu wag ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ dla dowolnego wielomianu ${\displaystyle p}$ stopnia nie większego niż ${\displaystyle 2n-1}$ zachodzi warunek (*), to ${\displaystyle x_{i}=t_{i}}$ oraz ${\displaystyle v_{i}=w_{i}}$ z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$ oraz ciągu wag ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).

Kwadratury z przedziału ${\displaystyle [-1,1]}$ z wagą ${\displaystyle w\equiv 1}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre’a

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle t_{i}}$ to pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a.

Kwadratury z wagą ${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle t_{i}}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.

Kwadratury z wagą ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite’a

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle t_{i}}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite’a.

Kwadratury z wagą ${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre’a

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle t_{i}}$ to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre’a.

Kwadratury z wagą ${\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego

${\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}).}$

• analiza numeryczna
• metoda numeryczna
• metody Newtona-Cotesa

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980.
• A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.