Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Funkcję ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazywamy odwracalną w ${\displaystyle Y,}$ gdy istnieje funkcja ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ taka, że^[1]:

${\displaystyle g{\big (}f(x){\big )}=x}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle f{\big (}g(y){\big )}=y}$ dla każdego ${\displaystyle y\in Y.}$

Innymi słowy ${\displaystyle g}$ jest taką funkcją, że złożenia ${\displaystyle g\circ f}$ oraz ${\displaystyle f\circ g}$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y.}$ Funkcję ${\displaystyle g}$ nazywamy funkcją odwrotną do ${\displaystyle f}$ i oznaczamy symbolem ${\displaystyle f^{-1}.}$

Bezpośrednio z definicji wynika, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją odwracalną w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ nie należy mylić z symbolem ${\displaystyle {\big (}f(x){\big )}^{-1}={\tfrac {1}{f(x)}}.}$

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczenie funkcji odwrotnej ${\displaystyle g}$ do danej ${\displaystyle f}$ polega na rozwiązaniu równania

${\displaystyle y=f(x)}$

względem niewiadomej ${\displaystyle x.}$ Rozwiązanie, czyli

${\displaystyle x=g(y),}$

to poszukiwana funkcja odwrotna.

• Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL^[2])
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
• Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem ${\displaystyle y(x)=3x}$ jest funkcja ${\displaystyle x(y)={\tfrac {y}{3}}.}$
• Funkcja ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że ${\displaystyle f(1)=f(-1)=1}$ (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem ${\displaystyle g(n)={\sqrt {n}}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ nie jest funkcją odwrotną do funkcji ${\displaystyle f.}$
• Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem ${\displaystyle h(x)={\tfrac {1}{x}}}$ dla ${\displaystyle x\neq 0}$ jest ona sama, tzn. ${\displaystyle h^{-1}(x)={\tfrac {1}{x}}}$ (zob. Inwolucje).

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle f^{-1},}$ to odwrotną do ${\displaystyle f^{-1}}$ jest funkcja ${\displaystyle f.}$ Symbolicznie:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{jeżeli }}&f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X},\\&{\text{to }}&f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.\end{aligned}}}$

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle f{:}}$ aby odwrócić działanie ${\displaystyle g}$ następującego po ${\displaystyle f}$ należy najpierw odwrócić ${\displaystyle f,}$ a następnie odwrócić ${\displaystyle g.}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na ${\displaystyle X}$ jest swoją własną odwrotnością:

${\displaystyle \operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

Ogólniej, jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon X\to X}$ jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie ${\displaystyle f\circ f}$ jest równe ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$ Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

• Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
• Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest ciągła.
• Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f(x)}$ jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których ${\displaystyle f'(x)=0,}$ w szczególności ${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\tfrac {1}{f'(x)}}}$
• Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle f}$ jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych ${\displaystyle OXY}$ (o równaniu ${\displaystyle y=f(x)}$) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$) względem prostej ${\displaystyle y=x}$^[1].

• Piotr Stachura, Funkcja odwrotna, kanał Khan Academy na YouTube, 29 stycznia 2024 [dostęp 2024-07-26].
• Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. III Funkcja odwrotna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Inverse Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Inverse function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].