CN102467593B - 非线性电路时域模型降阶方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明属于集成电路设计领域，涉及一种非线性电路时域模型降阶方法及装置。本发明的方法首先通过“训练信号”在状态空间形成轨迹，在该轨迹上选择展开点对非线性电路采用分段线性的方法进行逼近，然后采用基于小波配置的时域模型降阶方法，得到最后的降阶模型。本发明提供的装置包括输入单元、输出单元、程序存储单元、外部总线、内存、存储管理单元、输入输出桥接单元、系统总线和处理器。本发明在时域对非线性系统直接进行模型降阶，可保证非线性系统时域的降阶精度，并能对时域的误差进行控制，从而可获得精确和紧凑的降阶模型，提高仿真精度和效率。

Description

非线性电路时域模型降阶方法及装置

技术领域

本发明属于集成电路设计领域，涉及一种非线性电路时域模型降阶方法及装置。

背景技术

为了缩短电路仿真时间，在快速电路仿真和建模中广泛应用模型降阶方法。随着线性时不变系统模型降阶方法的成熟，非线性系统的模型降阶逐渐受到关注。对于弱非线性系统，其模型降阶方法主要是将非线性系统在某一个平衡点附近展开逼近为线性系统，然后利用Krylov子空间投影的方法来产生线性化后系统的投影矩阵[1-3]，获得降阶系统。由于该方法中非线性系统只在一个平衡点附近逼近，因此这些方法只对弱非线性系统适用。

对于强非线性系统，只在一个平衡点附近展开，不能有效的捕捉到强非线性特性。一个自然的想法是将强非线性系统在多个平衡点展开，这就引出了基于轨迹的非线性模型降阶方法[4-6]。在基于轨迹的非线性模型降阶方法中，通过一个“训练输入”在非线性系统状态空间形成一条轨迹，在这条轨迹上选择多个展开的平衡点。在这些平衡点上，对强非线性系统通过分段线性或是分段多项式系统逼近，对这些分段线性或是分段多项式系统通过矩匹配和平衡截断方法降阶即可获得最后的非线性系统降阶模型[7-9]。

对于非线性系统，更关注其时域特性，但是，已有的这些非线性模型降阶方法中，最终的降阶过程都是在频域完成的，在频域引入的误差在时域会造成无法预测和控制的误差。因此，需要一种时域的非线性系统模型降阶方法，以提高时域降阶精度，并对时域的降阶误差进行控制，提高非线性模型降阶的效率和精度。

与本发明相关的现有技术有如下参考文献：

 [1] J. R. Phillips, “Projection frameworks for model reduction of weakly nonlinear systems,” in Proc. IEEE/ACM Des. Autom. Conf., 2000, pp. 184–189.

[2] Y. Chen, “Model order reduction for nonlinear systems,” M.S. thesis, MIT, Cambridge, MA, Sep. 1999.

[3] J. R. Phillips, “Automated extraction of nonlinear circuit macromodels,” in Proc. Custom Integr. Circuits Conf., 2000, pp. 451–454.

[4] M. Rewienski and J. White, “A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices,” IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst., vol. 22, no. 2, pp. 155–170, Feb. 2003.

[5] D. Vasilyev, M. Rewienski, and J. White, “A TBR-based trajectory piecewise-linear algorithm for generating accurate low-order models for nonlinear analog circuits and MEMS,” in Proc. IEEE/ACM Des. Autom. Conf., 2003, pp. 490–495.

[6] N. Dong and J. Roychowdhury, “Piecewise polynomial nonlinear model reduction,” in Proc. IEEE/ACM Des. Autom. Conf., 2003, pp. 484–489.

[7] K. Glover, “All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their error bounds,” Int. J. Control, vol. 39, no. 6, pp. 1115–1193, Jun. 1984.

[8] A. Ghafoor and V. Sreeram, “Model reduction via limited frequency interval gramians,” IEEE Trans. Circuits Syst. I, Reg. Papers, vol. 55, no. 9, pp. 2806–2812, Oct. 2008.

[9] P. Heydari and M. Pedram, “Model-order reduction using variational balanced truncation with spectral shaping,” IEEE Trans. Circuits Syst. I, Reg. Papers, vol. 53, no. 4, pp. 879–891, Apr. 2006.

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的缺陷和不足，提供一种非线性电路时域模型降阶方法及装置。具体而言，本发明提供的方法首先通过“训练信号”在状态空间形成轨迹，在该轨迹上选择展开点对非线性电路采用分段线性的方法进行逼近，然后采用基于小波配置的时域模型降阶方法，得到最后的降阶模型；本发明在时域对非线性系统直接进行模型降阶，可保证非线性系统时域的降阶精度，并能对时域的误差进行控制，从而可以获得更为精确和紧凑的降阶模型，提高仿真精度和效率。

   本发明一种非线性电路时域模型降阶方法步骤如下（见图1）：

   步骤201：读取电路网表文件，写成状态空间方程形式；

   步骤202：利用“训练输入”获取系统状态轨迹，在状态轨迹上选取展开点，对非线性系统进行分段线性化处理；

步骤203：对于分段线性系统中的每一个线性系统，使用小波基产生合适的投影矩阵；

   分步骤31：将待求的时间区间投影到小波基时间区域；

   分步骤32：根据误差分布要求构造非线性压扩函数                                                ，构造压扩小波基函数；

   分步骤33：确定小波基的阶数并将状态变量用压扩后的小波基展开；

   分步骤34：在配置点上对线性系统进行离散，获得小波基展开系数所满足的Sylvester方程；

   分步骤35：求解sylvester方程获得小波基展开系数；

步骤204：根据每个线性系统的投影矩阵，得到最后的总的投影矩阵对分段线性系统进行模型降阶获得非线性系统的降阶模型。

本发明提供的一种应用非线性电路时域模型降阶方法的装置（112）（如图2所示），包括输入单元（102）、输出单元（103）、程序存储单元（105）、内存（106）、存储管理单元（107）、输入输出桥接单元（108）、处理器（109）、外部总线（110）和系统总线（111）。

所述输入单元（102）、输出单元（103）和程序存储单元（105）直接连接到所述外部总线（110）；外部总线（110）通过输入输出桥接单元（108）与所述系统总线（111）相连；所述内存（106）通过存储管理单元（107）连接到系统总线（111）；所述处理器（109）直接连接到系统总线（111）；在程序存储单元（105）中存储有实现本发明非线性电路时域模型降阶方法的TPWL-wavelet程序（104）。

将本发明非线性电路时域模型降阶方法用C/C++/FORTRAN等编程语言实现并经过编译就可得到TPWL-wavelet程序（104）。

待测非线性电路特征数据（101）通过输入单元（102）传输至分析装置（112）；分析装置（112）通过输出单元（103）对外传送分析结果。

非线性电路模型降阶装置（112）对非线性电路进行模型降阶时，通过输入单元（102）输入非线性电路特征数据（101）至内存（106）。输入单元可以是键盘、外部存储设备或网络连接。同时，实现本发明非线性电路时域模型降阶方法的TPWL-wavelet程序（104）也被载入内存。处理器（109）执行TPWL-wavelet程序（104）对非线性电路进行模型降阶，降阶结果经过输出单元以图形或文本的形式通过输出单元（103）提供给用户。这一装置的典型实例为一台包含4GB内存、Intel Xeon 3.0GHz处理器以及硬盘驱动器的工作站。处理器（109）利用Linux操作系统来执行程序存储单元（105）所存储的实现本发明非线性电路时域模型降阶方法的TPWL-wavelet程序。

本发明的非线性电路时域模型降阶方法具有良好的特性：

1、针对非线性电路，时域瞬态等特性相对重要，而传统的模型降阶方法，都通过频域降阶方法完成，因此将最后的降阶系统重新变换到时域时，可能会引入很大误差，这就使得其后的仿真精度受到累积的误差影响。而通过本发明的方法，可以直接在时域进行降阶，避免了从频域转化为时域的误差，这就使得误差精度得到保证。

2、采用小波基进行模型降阶，可以通过在时域对小波基函数非线性压扩，实现对降阶时域误差的控制。这样可以进一步提高降阶后的模型在时域的精度，避免了误差累积。

本发明一种非线性电路时域模型降阶方法及装置，提高时域降阶精度，并对时域的降阶误差进行控制，提高非线性模型降阶的效率和精度，应用前景良好。

为了便于理解，下面通过附图和具体实施例对本发明进行详细的描述。需要特别指出的是，具体实施例和附图仅是为了说明，显然本领域的技术人员可以根据本文说明，对本发明进行各种修正或改变，这些修正和改变也将纳入本发明范围之内。

附图说明

图1是本发明非线性电路模型降阶方法流程图；

图2是应用本发明非线性电路模型降阶方法的装置；其中，101是非线性电路特征数据，102是输入单元，103是输出单元，104是TPWL-wavelet程序，105是程序存储单元，106是内存，107是存储管理单元，108是输入输出桥接单元，109是处理器，110是外部总线，111是系统总线和112是非线性电路模型降阶装置。

图3是本发明状态空间线性化示意图；

图4是本发明非线性电阻网络电路图；

图5是对于非线性电阻电路，本发明方法与M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所采用的方法的时域相对误差比较曲线图；；

图6是套筒式运算放大器的电路示意图；

图7是对于套筒式运算放大电路，本发明方法与M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所采用的方法的时域相对误差比较曲线图；

图8是运算跨导放大器的电路示意图；

图9是对于运算跨导放大器，本发明方法与M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所采用的方法的时域相对误差比较曲线图；

图10是采用非线性压扩后，本发明方法采用误差控制和不采用误差控制的相对误差比较曲线图。

具体实施方式

实施例1

应用本发明的非线性电路时域模型降阶方法的装置的典型实例是一台包含4GB内存，Intel Xeon 3.0GHz处理器以及硬盘驱动器的工作站，该工作站执行实现本发明非线性电路模型降阶方法的程序。

如图1所示，本发明快速分析非线性集成电路的TPWL-wavelet方法，包含以下步骤：

   步骤201：读取电路网表文件，写成状态空间方程形式。电路网表信息包括电阻电容等线性元件、MOS管等非线性元件以及电路的输入激励信号等等。通过读取网表，可以获得非线性电路对应的状态空间方程：

                         (1)

其中是状态向量，表示电路网表中的节点电压；是电路中的非线性函数；B是一个阶的输入连接矩阵；是输入信号，而是输出信号。

   步骤202：根据状态方程和“训练输入”信号，得到电路系统在状态空间的轨迹，如图3所示。在轨迹上选取若干个展开点，可以将原始的非线性函数进行分段线性逼近，。其中表示在展开点的雅可比矩阵，而是权重函数，满足。因此，原始的状态方程的分段线性逼近系统，可以写成如下的形式：

               ()

   步骤203：针对分段线性系统(2)中的每一个线性系统，利用小波配置法在时域产生合适的投影矩阵。具体步骤如下：

      分步骤31：将时域的求解范围映射到小波基所定义的小波域中，这样线性系统通过尺度变化可以写成如下的形式：

                            ()

其中，，，。

     分步骤32：根据误差分布要求构造非线性压扩函数，并将小波基映射到压扩域，压扩函数满足如下的两个条件：

1.；

2.是单调递增或者单调递减的；

3.在需要降低误差的时间区域，g(l)的斜率大于1。

      利用压扩函数，对小波基函数进行压扩，得到压扩后的小波基函数：

                               (7)

      分步骤33：给定某一个小波阶数，将状态向量用压扩后的小波基展开如下：

( ₎

其中H是待求未知的系数矩阵，而是在阶数J下的小波基的个数。

   分步骤34：在配置点上对线性系统进行离散，获得小波基展开系数所满足的Sylvester方程。对(3)式左右两边在内积分可以得到，

                             (5)

根据D. Zhou和W. Cai等人1999年8月发表在IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl. 第46卷第8期920-930页论文“A fast wavelet collocation method for highspeed circuit simulation”中的方法选取个配置点，并在这M个配置点上对式(5)进行离散可以得到：

                     (6)

分步骤35：求解sylvester方程获得小波基展开系数。对于形如上式的Sylvester方程，可以采用X. Zeng、L. Feng、Y. Su、W. Cai、D. Zhou和C. Chiang等人2006年在IEEE/ACM Des., Autom. Test Eur.会议中发表论文 “Time domain model order reduction by wavelet collocation method”中提出的快速的Sylvester方程求解方法来计算H。将所解得的H的列进行正交化，从而得到每一个线性系统的投影矩阵。

   步骤204：将每一个在展开点线性系统的投影矩阵按顺序排列成，通过求解其正交基，得到非线性系统的投影矩阵。对投影矩阵序列采用奇异值分解，可以得到投影矩阵。利用投影矩阵对分段线性系统进行降阶可以得到最终的降阶系统。

实施例2

   本实施例是一个非线性的传输线，该非线性传输线由500个单元模块组成，电路图4如所示，每一个单元模块包含线性电阻和电容以及一个满足如下关系的非线性电阻，一个输入节点作为一个电流源输入，最后一个节点作为电压输出。

本发明人将上述实施例使用本发明方法与M. Rewienski和J. White 2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi进行模型降阶，并从降阶阶数，降阶精度，以及降阶后仿真时间等方面对两种方法进行比较。两种方法的训练输入和测试输入分别如图所示，利用两种方法将非线性传输线降阶到35阶，在时域上的相对误差曲线如图5所示。可以看到采用本发明提出的非线性系统时域模型降阶方法TPWL-wavelet，相比M. Rewienski和J. White 2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi，可以将误差减少一到两个数量级。

   为了比较降阶时间，将这个例子的非线性系统的节点数从200增大至1000，利用上述两种方法分别进行模型降阶，比较其降阶时间，得到如下的表格。可以看到，两种方法的在电路规模增大时，降阶时间基本在同一个量级。

实施例3

本实施例是一个二阶套筒式放大器，其电路图如图6所示。该电路其中包含28个MOS管。同样使用本发明提出的方法TPWL-wavelet以及M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi，将电路阶数从83阶降至8阶，比较这两种方法的降阶误差。两种方法的训练输入为；使用测试输入来检验降阶模型的精度。如图7所示，图中相对误差曲线可看到，本发明提出的方法TPWL-wavelet的在时域的降阶精度要高于M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi。

实施例4

本实施例是一个电流镜像运算跨导放大器。电路图如图8所示，这个电路的原始阶数为70阶，采用M. Rewienski和J. White 2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi将该电路降阶到14阶，而采用本发明提出的方法将该电路降阶到6阶。两种方法的训练输入为，测试输入为。如图9所示，由图中误差曲线的对比中得到，可看到本发明提出的方法TPWL-wavelet的在时域的降阶精度要高于M. Rewienski和J. White2003年在国际期刊IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr.Circuits Syst.上发表的论文“A trajectory piecewise-linear approach to model order reduction and fast simulation of nonlinear circuits and micromachined devices”所提出的方法TPWL-Arnoldi。

此外，针对本测试实例，本发明人采用小波基的非线性压扩技术来控制误差在时域的分布，小波基压扩前后误差的比较，见图10。由图中看到，当测试输入为时，误差在区间之间比较高，因此采用压扩函数，使得小波基在这个区间中相对集中且其异性更高后，可以显著降低这一时间区间的相对误差。

以上实施例结果表明，本发明一种非线性电路时域模型降阶方法及装置，提高时域降阶精度，并对时域的降阶误差进行控制，提高非线性模型降阶的效率和精度，应用前景良好。

Claims (2)

1.一种非线性电路时域模型降阶方法，其特征在于，其包括如下步骤：

步骤201：读取电路网表文件，写成状态空间方程形式；

$\frac{d\left(x\left(t\right)\right)}{\mathrm{dt}}=f\left(x\left(t\right)\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)   (1)

其中x(t)∈R^N是状态向量，表示电路网表中的节点电压；

f:R^N→R^N是电路中的非线性函数；B是一个N×p阶的输入连接矩阵；

u(t)∈R^p是输入信号，y(t)是输出信号；

步骤202：利用“训练输入”获取系统状态轨迹，在状态轨迹上选取展开点，对非线性系统进行分段线性化处理；其中包括：

根据状态方程和“训练输入”信号，得到电路系统在状态空间的轨迹，在轨迹上选取展开点{x₀,x₁,x₂,…,x_s}，将原始的非线性函数进行分段线性逼近，其中A_i表示在展开点x_i的雅可比矩阵，w_i(x)是权重函数，满足

写成如下形式的原始的状态方程的分段线性逼近系统：

$\frac{d\left(x\left(t\right)\right)}{\mathrm{dt}}=\underset{i=0}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i\left(x\right)(f\left(x_i\right)+A_i(x-x_i))+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)   (2)

步骤203：对于分段线性系统中的每一个线性系统，利用小波配置法在时域产生合适的投影矩阵；

分步骤31：将待求的时间区间投影到小波基时间区域，

将时域的求解范围[0,T]映射到小波基所定义的小波域[0,L]中，通过尺度变化t＝T×(l/L)写成如下形式的线性系统：

$\frac{d\left(\hat{x}\left(l\right)\right)}{\mathrm{dl}}=\hat{A}\hat{x}\left(l\right)+\hat{B}\widehat{\mathrm{\δ}}\left(l\right)---\left(3\right)$

其中 $\hat{x}\left(l\right)=x(l\×(T/L)),\widehat{\mathrm{\δ}}\left(l\right)=\mathrm{\δ}(l\×(T/L)),\hat{A}=A\×(T/L),\hat{B}=B\×(T/L);$

分步骤32：根据误差分布要求构造非线性压扩函数z＝g(l)，并将小波基映射到压扩域[0,Z₀]，压扩函数z＝g(l)满足如下的三个条件：

a.g(0)＝0,g(Z₀)＝Z₀＝L；

b.g(l)是单调递增或者单调递减的；

c.在需要降低误差的时间区域，g(l)的斜率大于1；

利用压扩函数z＝g(l)，对小波基函数{θ₁(l),θ₂(l),…,θ_M(l)}进行压扩，得到压扩后的小波基函数：

{θ₁(g(l)),θ₂(g(l)),…,θ_M(g(l))}   (4)

分步骤33：确定小波基的阶数J≥0，将状态向量用压扩后的小波基{θ₁(g(l)),θ₂(g(l)),…,θ_M(g(l))}展开如下：

其中H是待求未知的系数矩阵，M＝2^J×L+3是在阶数J下的小波基的个数；

分步骤34：在配置点上对线性系统进行离散，获得小波基展开系数所满足的Sylvester方程；其中包括：

对(3)式左右两边在[0_{_},l]内积分得到，

$\mathrm{H\θ}\left(g\left(l\right)\right)=\hat{A}H\underset{0\_}{\overset{l}{\∫}}\mathrm{\θ}\left(g\left(\mathrm{\τ}\right)\right)\mathrm{d\τ}+\hat{B}---\left(6\right)$

选取M＝2^J×L+3个配置点{l₁,l₂,…,l_M}，并在M个配置点上对式(5)进行离散得到：

$\begin{array}{c}H[\mathrm{\θ}\left(g\left(l_1\right)\right),\mathrm{\θ}\left(g\left(l_2\right)\right),...,\mathrm{\θ}\left(g\left(l_M\right)\right)]\\ =\hat{A}H[\underset{0\_}{\overset{l_1}{\∫}}\mathrm{\θ}\left(g\left(\mathrm{\τ}\right)\right)\mathrm{d\τ},\underset{0\_}{\overset{l_2}{\∫}}\mathrm{\θ}\left(g\left(\mathrm{\τ}\right)\right)\mathrm{d\τ},...,\underset{0\_}{\overset{l_M}{\∫}}\mathrm{\θ}\left(g\left(\mathrm{\τ}\right)\right)\mathrm{d\τ}]\\ +[\hat{B},\hat{B},...,\hat{B}]\end{array}---\left(7\right)$

分步骤35：求解sylvester方程获得小波基展开系数；

步骤204：根据每个线性系统的投影矩阵，得到最后的总的投影矩阵对分段线性系统进行模型降阶获得非线性系统的降阶模型。

2.按权利要求1所述的非线性电路时域模型降阶方法，其特征在于，所述的方法采用C/C++/FORTRAN编程语言实现并经过编译制得TPWL-wavelet程序(104)。