区間[-π、π]で定義された関数f(x)=|sinx|のフーリエ級数展開を求めよ これについて教えて

f(x) = |sinx| を「周期 2π で」フーリエ展開すればいいんでしょう？

いつもどおり、公式どおりに計算すればいい。

f(x) = (a0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (an)cos(nx) + (bn)sin(nx) }
と展開するとして、計算式は
an = (1/π) ∫[-π,π] f(x) cos(nx) dx,
bn = (1/π) ∫[-π,π] f(x) sin(nx) dx.

f(x) が偶関数なので、
f(x) sin(nx) は奇関数となり、bn = 0.

f(x) cos(nx) は偶関数なので、
an = (2/π) ∫[0,π] f(x) cos(nx) dx
　　= (2/π) ∫[0,π] |sin(x)| cos(nx) dx
　　= (2/π) ∫[0,π] sin(x) cos(nx) dx
　　= (2/π) ∫[0,π] (1/2){ sin(x+nx) + sin(x-nx) } dx　；積和公式
　　= (1/π) ∫[0,π] { sin((n+1)x) - sin((n-1)x) } dx
ここで場合分けして、

[0]　ｎ = 0 のとき、
a0 = (2/π) ∫[0,π] sin(x) cos(0x) dx
　　= (2/π) ∫[0,π] sin(x) １ dx
　　= (2/π) { -cosπ - (-cos0) }
　　= 4/π.

[1]　n = 1 のとき、
a1 = (2/π) ∫[0,π] sin(x) cos(x) dx
　　= (2/π) ∫[0,π] (1/2)sin(2x) dx
　　= (2/π) { (-1/4)cos(2π) - (-1/4)cos(0) }
　　= 0.

[2]　n ≧ 2 のとき、
an = (1/π) ∫[0,π] { sin((n+1)x) - sin((n-1)x) } dx
　　= (1/π) [ { (-1/(n+1)cos((n+1)π) - (-1/(n+1)cos(0) }
　　　　　　　- { (-1/(n-1)cos((n+1)π) - (-1/(n-1)cos(0) } ]
　　= (1/π) [ { (-1/(n+1))(-1)^(n+1) - (-1/(n+1)) }
　　　　　　　- { (-1/(n-1))(-1)^(n-1) - (-1/(n-1)) } ]
　　= (1/π) { 1/(n+1) - 1/(n-1) }{ (-1)^n + 1}
　　= { 2/(π(1-n^2)) }{ (-1)^n + 1 }
ここで更に場合分け。

[2-E]　n ≧ 2 かつ n が偶数のとき、
an = { 2/(π(1-n^2)) }{ 1 + 1 }
　　= 4/(π(1-n^2)).

[2-O]　n ≧ 2 かつ n が奇数のとき、
an = { 2/(π(1-n^2)) }{ -1 + 1 }
　　= 0.

結果的に、[0][1] の場合も [2] と同じ式で表されている。

f(x)=|sinx|

f(x)=a(0)/2+Σ[n=1～∞]a(n)cos(nx)

a(n)
=(2/π)∫[0～π]f(x)cos(nx)dx
=(1/π)∫[0～π]2sin(x)cos(nx)dx
=(1/π)∫[0～π]{sin(x+nx)+sin(x-nx)}dx
=(1/π)∫[0～π](sin{(1+n)x}+sin{(1-n)x})dx

n=1のとき

a(1)
=(1/π)∫[0～π]sin(2x)dx
={1/(2π)}[-cos(2x)][0～π]
=0

n≠1のとき

a(n)
=(1/π)∫[0～π](sin{(1+n)x}+sin{(1-n)x})dx
=(1/π)[-cos{(1+n)x}/(1+n)-cos{(1-n)x}/(1-n)][0～π]
=(1/π)[(1-cos{(1+n)π})/(1+n)+(1-cos{(1-n)π})/(1-n)]

n=2k+1のとき

a(2k+1)=
=(1/π)[(1-cos{2(1+k)π})/(2+2k)+{1-cos(-2kπ)}/(-2k)]
=0

n=2kのとき

a(2k)=
=(1/π)[(1-cos{(1+2k)π})/(1+2k)+(1-cos{(1-2k)π})/(1-2k)]
=(1/π)[2/(1+2k)+2/(1-2k)]
=(2/π){1/(1+2k)+1/(1-2k)}
=(4/π)/{(1+2k)(1-2k)}
=4/{π(1-4k^2)}

f(x)
=a(0)/2+Σ[k=1～∞]a(2k)cos(2kx)
=(2/π)+Σ[k=1～∞](4/{π(1-4k^2)})cos(2kx)
=(2/π)+(4/π)Σ[k=1～∞]cos(2kx)/(1-4k^2)
=(2/π)-(4/π)Σ[k=1～∞]cos(2kx)/(4k^2-1)
=(2/π)-(4/π)Σ[n=1～∞]cos(2nx)/(4n^2-1)

誤り an を一部 a1 と書いてしまってました。

>a1 = 0 (|n| = 1)
>an = [-2/{π(n^2-1)}]{(-1)^n + 1) (|n| ≠ 1)
>→
>an = [-4/{π(n^2-1)}] (nは偶数)
>a1 = 0 (nは奇数)

an = 0 (|n| = 1)
an = [-2/{π(n^2-1)}]{(-1)^n + 1) (|n| ≠ 1)
→
an = [-4/{π(n^2-1)}] (nは偶数)
an = 0 (nは奇数)

これで n を 2n に読み替えれば 答えと一致するはず。

基本周期は π だから an(nは奇数) = 0

質問の答えの n は通常のフーリエ展開の級数の添え字の半分になってる
のがややこしいね。こういうのは書いといてくれないと見る方が悩む。

素直に普通の n で、積和でばらして積分して解くと
a1 = 0 (|n| = 1)
an = [-2/{π(n^2-1)}]{(-1)^n + 1) (|n| ≠ 1)
→
an = [-4/{π(n^2-1)}] (nは偶数)
a1 = 0 (nは奇数)