Vekselstrøm

Lyden av en 50 Hz sinusformet lyd slik som den kan fremkomme i et kraftsystem i de fleste steder i verden.

Lyden av en 60 Hz sinusformet lyd slik som den kan fremkomme i et kraftsystem i blant annet USA og Canada.

 

I figuren til høyre er det vist fire forskjellige størrelser for en sinusformet vekselspenning, disse vil være de samme for vekselstrøm. Størrelsene kan beskrives slik:

1. Amplitude eller toppverdien ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {u}}}$ 
2. Topp-til-toppverdien ${\displaystyle \scriptstyle u_{topp-topp}}$  (engelsk peak-to-peak value). For symmetrisk sinusformet strøm eller spenning er denne dobbelt så stor som toppverdien
3. Effektivverdi eller RMS-verdien. Forholdet mellom RMS-verdi og amplitudeverdi er gitt av ${\displaystyle \scriptstyle U_{rms}={\frac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}}$ . Amplitudeverdien er ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}=1,414}$  ganger større enn effektivverdien. Utledningen av denne verdien blir vist nedenfor
4. Periodelengden er tiden for et helt forløp av sinuskurven. Denne størrelsen er forklart i avsnittet over.

Med en nettfrekvens 60 Hz som brukes i USA og Canada har en periodetid på T = 16,67 ms, mens med en frekvens på 50 Hz blir periodetiden T = 20 ms. For banestrømforsyning i Sveits, Østerrike, Tyskland, Sverige og Norge er 16 ⅔ Hz vanlig, og periodetiden for denne er 60 ms.

 

 

Tidsvarierende spenninger og strømmer er upraktiske størrelser for kalkulasjoner og beregninger, og en generell måte å beskrive en størrelse som kan være både positiv og negativ er effektivverdier eller rms. Begrepet rms er vanlig i norsk ordbruk, og står for root-mean-square. En norsk oversettelse av rms kan være «kvadratroten av det kvadrerte gjennomsnittet». Metoden går ut på at størrelsen, her en kontinuerlig sinusfunksjon for strøm eller spenning først kvadreres, så finner en gjennomsnittet og deretter tas kvadratroten av dette. Ut fra dette kvadreres først sinusfunksjonen for strømmen (eller spenningen) over én periode (én sinusperiode):

${\displaystyle i^{2}(t)={\hat {i}}^{2}\cdot \cos ^{2}(\omega t)}$ 

her er det antatt at faseforskyvningen er lik null (α=0º) og at alle størrelsene er de samme som definert lenger opp. Fra trigonometrien brukes en sammenheng for kvadrering av en sinusfunksjonen:

${\displaystyle \cos ^{2}A={\frac {1}{2}}(1+\cos 2A)}$ 

innsatt gir dette:

${\displaystyle i^{2}={\hat {i}}^{2}{\frac {1}{2}}(1+\cos 2\omega t)={\frac {1}{2}}{\hat {i}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\hat {i}}^{2}\cos 2\omega t}$ 

Gjennomsnittet av cos 2ωt er null fordi dette er en funksjon som er positiv i en halvperiode og negativ den andre. Gjennomsnittet av i² er dermed ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {{\hat {i}}^{2}}{2}}}$ . Til sist skal kvadratroten av uttrykket finnes, dermed er sammenhengen mellom toppverdien og effektivverdien gitt av:

${\displaystyle I_{rms}={\frac {\hat {i}}{\sqrt {2}}}}$ 

Dette kalles effektivverdien eller rms av en sinusformet vekselstrøm. Som nevnt er formelen og utledningen for en vekselspenning identisk:

${\displaystyle U_{rms}={\frac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}}$ 

Ofte skriver en bare U eller I når en mener rms-verdien for disse størrelsene. Faktoren ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  kalles i engelskspråklig litteratur crest factor og dette ordet brukes også en del på norsk. Faktoren vil være forskjellig alt etter strømmen eller spenningens form. En annen størrelse er formfaktoren som angir forholdet mellom effektivverdien av strømmen eller spenningen og middelverdien over en halv periode:

${\displaystyle K_{f}={\frac {I_{eff}}{I_{Mid}}}}$ 

Ved sinusformet strøm og spenning er formfaktoren 1,11. For øvrig er formelen for rms-formelen for en generell tidsvarierende strøm i(t):

${\displaystyle I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{[i(t)]^{2}dt}}}.}$ 

og for en spenning:

${\displaystyle U_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{[u(t)]^{2}dt}}}.}$ 

Som et eksempel kan en finne toppverdien av spenningen som er vanlig i distribusjonsnettet. I Europa er 230 V vanlig og ved å multiplisere denne med ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$  finner en at toppverdien er 325 V.

 

I vekselstrømsteknikken brukes ordet impedans for motstand, denne deles inn i to størrelser, resistans og reaktans. Resistansen, eller ohmsk motstand, er det samme som i en vekselstrømskrets, mens reaktansen er en type motstand som gir spenningsfall over spoler og kondensatorer. En gir impedansen symbolet Z, resistansen symbolet R og reaktansen X.

Om elementet Z, i kretsen over til høyre er en motstand med en gitt resistans R, (Z = R) og spenningskilden gir en sinusformet vekselspenning vil det gå en sinusformet strøm gjennom kretsen. I henhold til Ohms lov vil det oppstå en spenning over motstanden, som funksjon av tiden vil denne bli:

${\displaystyle u_{R}(t)=Z{\hat {i}}\cos \omega t}$ 

Spenningen og strømmen er begge proporsjonal med ${\displaystyle \sin \omega t}$ . Relasjonen mellom strøm og spenning er den samme som i en likestrømkrets. Brukes effektivverdier kan spenningen over en ohmsk motstand skrives:

${\displaystyle V_{R}=IR}$ 

 

 

Elementet Z i kretsen over til høyre byttes ut med en spole, også kalt reaktor eller induktans, denne forutsettes å være ideell, altså at den er uten ohmsk motstand. Induktivitet er en egenskap med alle elektriske ledere og har sammenheng med det magnetiske feltet som en elektrisk strøm fører med seg. For å forsterke denne effekten brukes det ofte en vikling med mange vindinger, omtrent som sytråd på en trådsnelle. Vindingene er isolert fra hverandre ved at lederne er dekket av et isolerende materiale, vindingene selv er typisk laget av kopper. Denne komponenten kalles altså for en spole.

I henhold til Faradays lov vil dette oppsettet føre til en indusert spenning i spolen:

${\displaystyle u={\frac {d\Phi }{dt}}=L{\frac {di}{dt}}}$ 

Når det nå settes på en sinusformet spenning vil det igjen gå en sinusformet strøm i kretsen, og spolen vil reagere med å sette opp en spenning som er motsatt rettet av strømretningen gjennom den. Matematisk kan dette utledes slik:

${\displaystyle u=L{\frac {d}{dt}}{\hat {i}}\cos \omega t=-{\hat {i}}\omega L\sin \omega t}$ 

der L er induktansen i spolen med måleenheten Henry [H]. En kan bruke identiteten ${\displaystyle \scriptstyle -sinA=cos(A+90^{\circ })}$  og dermed omskrive uttrykket slik:

${\displaystyle u={\hat {i}}\omega L\cos(\omega t+90^{\circ })}$ 

Det vil oppstå en motindusert spenning i spolen ved økende strøm som er proporsjonal med endringshastigheten av strømmen. Der strømmen har sin største endringshastighet, altså der sinuskurven er brattest, vil størst spenning oppstå. Likeledes vil strømmen ha sin laveste endringshastighet ved maksimum- og minimumspunktet på sinuskurven, og her vil spenningen over spolen være null.

I ligningen over er vinkelen 90º et uttrykk for at strømmen er etter spenningen. Det er alltid vanlig å bruke spenningen^[20] som referanse.

Brukes effektivverdier for strøm og spenning kan uttrykket over skrives uten tilknytning til den trigonometriske funksjonen, slik at spenningsfallet over en spole skrives:

${\displaystyle V_{L}=I\omega L}$ 

Begrepet induktiv reaktans defineres som X_L = ω L og da kan spenningsfallet skrives slik:

${\displaystyle V_{L}=IX_{L}}$ 

Enheten for reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand. Reaktans er en egenskap som i praksis oppstår i alle ledere og kretselementer som fører vekselstrøm. I en kraftledning fører det til spenningsfall og er en størrelse en derfor prøver å redusere. Størrelsen av reaktansen er direkte proporsjonal med frekvensen, noe som er en egenskap som i mange tilfeller er ønsket. I elektriske og elektroniske kretser er det ofte spenninger og strømmer med forskjellige frekvenser. En spole kan tilpasses for å slippe gjennom noen og stanse andre frekvenser: Et lavtpassfilter slipper gjennom lave frekvenser, men blokkerer for høye. Dette er tilfelle for en basshøytaler der det er ønskelig at bare de lave frekvensene skal slippe inn.

 

 

Om en i kretsen over til høyre setter inn en kondensator med kapasitans C vil det gå en strøm i kretsen når det påtrykkes vekselspenning. Forholdet mellom strøm (i) og ladning (Q) er gitt av selve definisjonen av kapasitans:

${\displaystyle i={\frac {dQ}{dt}}=C\ {\frac {du}{dt}}}$ 

Når det settes på en sinusformet vekselspenning vil strømmen gjennom kretsen kunne uttrykkes slik:

${\displaystyle i={\frac {dQ}{dt}}={\hat {i}}\cos \omega t}$ 

Ved å integrere uttrykket får en:

${\displaystyle Q={\frac {I}{\omega }}\sin \omega t}$ 

Ved å sette inn for definisjonen av kapasitans, Q = C u_C, i uttrykket over fås:

${\displaystyle u_{C}={\frac {I}{\omega C}}\sin \omega t}$ 

Av ligningene som er utledet her kan en se at øyeblikksverdien av strømmen er proporsjonal med endring av ladningen og med endringen av spenningen. Med å bruke den trigonometriske identiteten ${\displaystyle \sin A=\cos(A-{\frac {\pi }{2}})}$ , kan uttrykket over skrives slik:

${\displaystyle v_{C}={\frac {I}{\omega C}}\cos(\omega t-90^{\circ })}$ 

Vinkelen – 90º sier at spenningen over en kondensator blir faseforskjøvet med en kvart periode. Dette kan også sies som at toppverdien av spenningen over kondensatoren oppstår 90º etter at strømmen har sin toppverdi. Det er vanlig å definere dette som den fysiske størrelsen kapasitiv reaktans, som uttrykkes matematisk slik:

${\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega C}}}$ 

Og ved å bruke denne størrelsen og effektivverdier av strøm og spenning kan spenningen over en kondensator i en vekselspenningskrets skrives:

${\displaystyle V_{C}=IX_{C}}$ 

Enheten for kapsitiv reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand og induktiv reaktans. Kapasitiv reaktans er en egenskap med kondensatorer som får dem til å oppføre seg motsatt av spoler: En kapasitans har en reaktans som er invers proporsjonal med størrelsen av kapasistansen og med frekvensen. Den blokkerer for lave frekvenser og for likestrøm, men slipper høye frekvenser gjennom. I elektriske kretser og i elektronikken brukes disse som høypassfiltre når en vil oppnå slike egenskaper.

 

En elektrisk vekselstrømskrets kan bestå av både impedans, resistans og reaktans. Forholdet mellom disse tre størrelsene uttrykkes slik:

${\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}$ 

Lenger ned vil det bli vist noen basale sammenhenger for strøm, spenning og impedans i forskjellige vekselstrømskretser.

 

Når det går vekselstrøm gjennom en resistans er strømmen og spenningsfallet over den i fase, som figuren til høyre viser. Her er momentanverdien av effekten vist som en kurve som er produktet av momentanverdien av strøm og spenning. Legg merke til at kurven for effekt alltid er over x-aksen, noe som uttrykker at resistansen alltid mottar energi. Imidlertid er ikke effekten konstant, men varierer med samme periodisitet som strøm og spenning. Effektkurven er symmetrisk om en verdi som er nøyaktig halvparten av dens toppverdi, dette tilsvarer også middelverdien av effekten. Denne kan dermed skrives slik:

${\displaystyle P_{Middel}={\frac {1}{2}}{\hat {v}}{\hat {i}}}$ 

På samme måte kan dette uttrykkes ved hjelp av rms-verdiene av strøm og spenning:

${\displaystyle P_{Middel}={\frac {\hat {v}}{\sqrt {2}}}{\frac {\hat {i}}{\sqrt {2}}}=V_{rms}I_{rms}}$ 

Ohms lov gjelder for rms-verdier, altså ${\displaystyle V_{rms}=I_{rms}R}$  og dermed kan effekten uttrykkes i alle de tre grunnformene for effekt i en resistans:

${\displaystyle P_{Middel}=I_{rms}^{2}R={\frac {V_{rms}^{2}}{R}}=V_{rms}I_{rms}}$ 

Vanligvis er det underforstått at det er middeldefekten som er av interesse og som omtales, dermed skriver en som regel kun P.

 

Figuren til høyre viser et tilfelle der vekselspenning og -strøm er 90º faseforskjøvet. Strømmen ligger etter spenningen, men andre ord er dette en ideell induktiv krets. Effekten er vist som den fiolette kurven som en symmetrisk om x-aksen. Effekten er altså positiv en halvperiode og negativ i den andre. Det betyr at middeleffekten er null, men allikevel utveksles det energi i kretsen. Når effekten er positiv fornyes spolen med energi for å bygge opp magnetfeltet og når effekten er negativ betyr det at magnetfeltet svekkes slik at energien gis tilbake.

Med en kondensator hadde kurvene sette like ut, men strømmen hadde kommet før spenningen. Kurven for effekt hadde hatt samme form, og middeleffekten ville også i dette tilfellet vært null. I en slik krets utveksles det effekt mellom kondensator og spenningskilden ved at det elektriske feltet i kondensatoren bygges opp og ned. En kaller dette for reaktiv effekt som gis symbolet Q og denne måles i VAr (uttales «voltampere reaktiv»).

 

I tilfelle der faseforskyvningen mellom strøm og spenning er mindre enn 90° betyr dette at kretsen kan være sammensatt av både motstand, spole og kondensator. I figuren til venstre er faseforskyvningen rundt 45°, noe som betyr at kretsen både er resitiv og induktiv. Fordi strømmen er etter spenning er det snakk om induktiv reaktans. Formelen for gjennomsnittlig aktiv og reaktiv effekt er henholdsvis:

${\displaystyle P_{Middel}={\frac {{\hat {v}}{\hat {i}}}{2}}\cos(\theta _{v}-\theta _{i})}$ 

${\displaystyle Q_{Middel}={\frac {{\hat {v}}{\hat {i}}}{2}}\sin(\theta _{v}-\theta _{i})}$ 

der:

${\displaystyle \theta _{v}}$  = spenningens faseforskyvning

${\displaystyle \theta _{i}}$  = strømmens faseforskyvning

de andre størrelene er de samme som ovenfor.

Som regel er det alltid middeleffekten som er av interesse og dermed skriver en bare P eller Q. Det er vanlig å definere den relative vinkelforskjellen mellom spenningen og strømmen som effektfaktorens vinkel og cosinus til denne kalles effektfaktoren. Effektfaktor eller bare cos φ, som defineres slik:

${\displaystyle \cos \varphi =\cos(\theta _{v}-\theta _{i})}$ 

I figuren til venstre er den relative faseforskyvningen rundt 45° og effektfaktoren blir da 0,707. For å gjøre forskjell på induktiv og kapasitiv effektfaktor kunne en ha brukt fortegn, men misforståelser unngås om en heller skriver «cos φ = 0,7 kapasitiv» eller «cos φ = 0,9 induktiv».^[21]

En annen viktig størrelse er syneffekten som er produktet av spenning og strøm:

${\displaystyle S_{Middel}={\frac {{\hat {v}}{\hat {i}}}{2}}}$ 

eller om det brukes effektivverdier:

${\displaystyle S_{Middel}=V_{rms}I_{rms}}$ 

Lenger opp ble det vist at formelen for aktiv effekt utviklet i en motstand, P, hadde samme form. Det vil altså si at i en rent ohmsk krets er S = P. Derimot i en sammensatt krets av alle de tre typene elektrisk effekt vil sammenhengen være slik:

${\displaystyle S={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}$ 

Når effekten for en elektrisk maskin oppgis, for eksempel en transformator, generator eller reaktor snakker en gjerne om tilsynelatende effekt (S) med måleenheten [VA] (uttales: «Voltampere»). Når en snakker om omsatt nyttiggjort effekt i en elektrisk motor, altså effekten ut på akslingen, er det vanlig å bruke aktiv effekt (P) som måles i [W]. Det samme gjelder for en lyspære eller en varmeovn.

 

Bearbeidelse av trigonometriske funksjoner ved analyse av vekselstrømskretser er tungvint og et mye brukt system er fasevektorer. Eulers formel sier generelt at en eksponentialfunksjon kan uttrykkes som en sinusfunksjon:

${\displaystyle e^{\pm j\theta }=\cos \theta \pm j\sin \theta \!}$ 

der symbolene betyr:

e = grunntallet for den naturlige logaritmen

j = den imaginære enheten^[c]

${\displaystyle \theta }$  = et hvilket som helst reelt tall.

Cosinusfunksjonen kan sees på som den reelle delen av eksponentialfunksjonen og sinusfunksjonen som den imaginære:

${\displaystyle \cos \theta ={\mathfrak {Re}}({e^{j\theta }}),}$  den reelle delen

${\displaystyle \sin \theta ={\mathfrak {Im}}({e^{j\theta }}),}$  den imaginere delen

der ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}}$  står for realdelen og ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}}$  står for imaginærdelen. Har en som her valgt å uttrykke sinusformet strømmer og spenninger ved hjelp av cosinus-funksjonen trenger en kun å bruke den første sammenhengen over. Dermed kan cosinus-funksjonen som ble introdusert hel først i dette kapittelet omskrives slik:^[22]

${\displaystyle i(t)={\hat {i}}\cos(\omega t+\theta )={\hat {i}}{\mathfrak {Re}}({e^{j\omega t+\theta }})={\hat {i}}{\mathfrak {Re}}({e^{j\omega t}e^{j\theta }})={\mathfrak {Re}}({{\hat {i}}e^{j\omega t}e^{j\theta }})}$ 

I uttrykket over er ledet ${\displaystyle {\hat {i}}e^{j\omega t}}$  et tall som overfører informasjon om strømmens amplitude og fasevinkel. Videre er det komplekse tallet ${\displaystyle e^{j\theta }}$  et ledd som gir informasjon om amplitudeverdien ved et gitt tidspunkt (t). Det siste leddet er av liten interesse fordi det er det relative forholdet mellom strømmer og spenninger som er av viktighet. Dermed er selve definisjonen av en fasevektor slik den brukes i elektroteknikken slik:^[22]

${\displaystyle \mathbf {I} ={\hat {i}}e^{j\theta }={\mathfrak {P}}({\hat {i}}\cos(\omega t+\theta ))}$ 

De ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$  er symbolet for fasevektortransformasjonen. En sier at fasevektortransformasjonen^[d] overfører sinusfunksjonen fra tidsplanet til kompleksplanet. Formen over kalles for polarform eller polar koordinat, men kartesisk form er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:^[22]

${\displaystyle \mathbf {I} ={\hat {i}}\cos \theta +j{\hat {i}}\sin \theta }$ 

I elektroteknikken innføres notasjonen ${\displaystyle \scriptstyle 1\angle \theta =1e^{j+\theta }}$  som er enklere å skrive.^[22] Som et eksempel på bruken av dette kan en se på spenning og strøm i en vanlig elektrisk motor. Si at den får en spenning på 230 V, at strømmen er 5 A, frekvensen er 50 Hz og at effektfaktoren er cos φ = 0,7 induktiv. Det vil si at det er en faseforskyvning mellom strøm og spenning på φ = 45º, og at denne strømmen ligger etter spenningen. Dette kan uttrykkes slik for spenningen:

${\displaystyle v(t)={\sqrt {2}}\cdot 230\cos(2\cdot 50\pi t)V=325\cos(314\cdot t)V}$ 

Spenningen transformert over til fasevektor gir det betydeligere enklere uttrykket: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {V} =325\angle {0}^{\circ }V}$ 

For strømmen i den samme motoren:

${\displaystyle i(t)={\sqrt {2}}\cdot 5\cos(2\cdot 50\pi t-45^{\circ })A=7,1\cos(314\cdot t-45^{\circ })A}$ 

Strømmen transformert over til fasevektor gir:${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} =7,1\angle {-45^{\circ }}A}$ 

Om en heller vil uttrykke dette som effektivverdier blir dette ${\displaystyle \scriptstyle 230\angle {0}^{\circ }V}$  og ${\displaystyle \scriptstyle 5\angle {0}^{\circ }A}$  Spenningen forutsettes som nevnt å være referanse, derfor minustegnet foran faseforskyvningene for strømmen.

Et annet eksempel er en motstand og en spole i serie. Si at en har en ohmsk motstand på R = 5 Ω og at reaktansen er X = 3 Ω. Dette kan en da enkelt skrive med kartesiske koordinater på kompleks form: Z = 5+j3 Ω. Om den induktive reaktansen byttes ut med en kapasitans som er like stor skrives dette på samme måte, men med negativt fortegne for imaginærdelen: Z = 5–j3 Ω.

En stor fordel med disse komplekse størrelsene er at kretsanalyse, altså beregninger av spenninger, strømmer og andre størrelser i et elektrisk system, blir meget enklere enn om tidsvariable størrelser benyttes. Kretsen transformeres over til kompleksplanet som en sier, og deretter kan kretsen manipuleres matematisk som om den var en likestrømkrets.

 

I kretsen til høyre er det Z_n seriekoble impedanser som hver kan bestå av resistans, indutiv reaktans og kapasitiv reaktans. Forutsett at det settes en vekselspenningskilde på terminalene (markert med sirkler) og at denne har spenningen V_ab. Strømmen gjennom alle impedansene er den samme og spenningen over terminalene blir:

${\displaystyle \mathbf {V} _{ab}=Z_{1}\mathbf {I} +Z_{2}\mathbf {I} +...+Z_{n}\mathbf {I} }$ 

Summen av alle impedansene, eller ekvivalent impedans blir:

${\displaystyle Z_{ab}={\frac {\mathbf {U} _{ab}}{\mathbf {I} }}=Z_{1}+Z_{2}+...+Z_{n}}$ 

For øvrig gjelder Kirchhoffs spenningslov:

${\displaystyle \mathbf {V} _{1}+\mathbf {V} _{2}+...\mathbf {V} _{n}+\mathbf {V} _{ab}=0}$ 

Altså at summen av alle spenningene i en krets er lik null.

 

I kretsen til høyre er det Z_n parallellkoblede impedanser. Forutsett at det settes en vekselspenningskilde på terminalene (markert med sirkler) og at denne har spenningen V_ab.

Spenningen over hver av disse er lik og strømmen gjennom en av dem er:

${\displaystyle \mathbf {I} _{ab}={\frac {\mathbf {U} _{ab}}{Z_{n}}}}$ 

Strømmene gjennom alle er:

${\displaystyle \mathbf {I} _{ab}={\frac {\mathbf {U} _{ab}}{Z_{1}}}+{\frac {\mathbf {U} _{ab}}{Z_{2}}}+...+{\frac {\mathbf {U} _{ab}}{Z_{n}}}}$ 

Summen av alle impedansene, eller ekvivalent impedans blir:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{ab}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+...+{\frac {1}{Z_{n}}}}$ 

For det spesielle tilfelle med bare to impedanser i parallell har en at:

${\displaystyle Z_{ab}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$ 

Kirchhoffs spenningslov for fasevektorer av spenning for kretser av typene vist over (og alle andre kretser):

${\displaystyle \mathbf {V} _{1}+\mathbf {V} _{2}+...\mathbf {V} _{n}+\mathbf {V} _{ab}=0}$ 

Altså at summen av alle spenningene i en krets er lik null. Og Kirchhoffs strømlov for fasevektorer av strøm:

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+...\mathbf {I} _{n}+\mathbf {I} _{ab}=0}$ 

 

Som nevnt over har trefase vekselstrømsystemer praktisk talt vært enerådende kraftsystemer helt siden 1890-tallet. Den meget stiliserte kretsen til venstre viser sterkt forenklet hvordan trefase vekselspenning kan induseres. Om de tre terminalene L1, L2 og L3 tilknyttes en ekstern krets, for eksempel en motor, vil det kunne gå en strøm i lederne og energi overføres til denne. Legg merke til at de tre spolene er (rød, brun og grønn) er orientert i rommet slik at det er 120º mellom dem (2π/3 radianer) om en setter senter i midten av den roterende magneten. Spenningen vil være symmetrisk om spolene har like mange vindinger, og fordi spolene er orientert i rommet som nevnt over vil spenningene for hver av terminalene være faseforskjøvet med 120º.

 

 

Ideell syklisk symmetrisk sinusformet trefase spenning eller strøm er vist i figuren øverst til venstre. Generelt beskrives de tre spenningene av følgende trigonometriske funksjoner:

${\displaystyle v_{L1}(t)={\hat {v}}_{L1}\cos(\omega t)}$ 

${\displaystyle v_{L2}(t)={\hat {v}}_{L2}\cos(\omega t-120^{\circ })}$ 

${\displaystyle v_{L3}(t)={\hat {v}}_{L3}\cos(\omega t+120^{\circ })}$ 

Der symbolene er de samme som tidligere, og L1, L2 og L3 tilsvarer fasene henholdsvis 1, 2 og 3 i figuren. Funksjonene for strømmen er identiske. Som sagt i forrige avsnitt er det mye enklere å behandle sinusformede vekselstrømmer og spenninger som fasevektorer. Ved transformasjon av de tre ligningene over kan de tre funksjonene over skrives slik:

${\displaystyle \mathbf {V} _{L1}={\hat {v}}_{L1}\angle 0^{\circ }}$ 

${\displaystyle \mathbf {V} _{L2}={\hat {v}}_{L2}\angle -120^{\circ }}$ 

${\displaystyle \mathbf {V} _{L3}={\hat {v}}_{L3}\angle +120^{\circ }}$ 

Dette er illustrert i figuren til venstre med de tre pilene eller vektorene. Fasesekvens er et viktig begrep i forbindelse med trefasespenning. Positiv sekvens er definert slik at om fasene roterer mot klokken vil faserekkefølgen da være a, b, c, eller L₁, L₂, L₃ eller RST. I et elektrisk anlegg er dette viktig å ikke forveksle, for eksempel ved å bytte om på faselederne, ellers vil elektriske motorer rotere motsatt veg av hva de er tiltenkt.

Enda en viktig forhold i et trefasesystem er at summen av strømmer og spenninger til enhver tid er null:

${\displaystyle \mathbf {V} _{L1}+\mathbf {V} _{L2}+\mathbf {V} _{L3}=0}$ 

 

Figuren øverst til venstre viser en stjernekoblet (Y-koblet) trefase vekselspenningskilde (generator) som gir ut spenningene V₁, V₂, V₃. Den er tilknyttet en belastning som er en Y-kobling av impedansene Z_y, og strømmene I₁, I₂, I₃ blir overført. Kretsen er symmetrisk hvis spenningene er syklisk symmetriske og de tre impedansene er like store. Det vil da også gå symmetriske strømmer i kretsen. I selve stjernepunktet (senteret) i generatoren og lasten er det et symbol som viser tilknytningen til jordpotensiale. Det vil si at de to stjernepunktene har elektrisk tilknytting, selv om det ikke er tegnet inn noen leder. Om en kaller spenningen i disse punktene for V_N, vil denne spenningen være null på grunn av betingelsene fastsatt over. Et annet navn for stjernepunkt er nøytralpunkt (N eller n) og om det tilknyttes en egen leder kalles denne nøytralleder (N-leder) (nulleder forekommer også).

Om en nå ser på spenningene vil det være to nivåer i kretsen. Spenningen mellom terminalene på generatoren til venstre i tegningen kan defineres som V₁₂, V₂₃ og V₃₁. Videre kan spenningene V_1n, V_2n og V_3n mellom hver av terminalene og nøytralpunktet (n) defineres. Forholdet mellom disse spenningene kan uttrykkes slik:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{12}&=\mathbf {V} _{1}-\mathbf {V} _{2}=(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 0^{\circ })-(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle {-120}^{\circ })\\&={\sqrt {3}}\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 30^{\circ },\\\mathbf {V} _{23}&=\mathbf {V} _{2}-\mathbf {V} _{3}=(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle {-120}^{\circ })-(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 120^{\circ })\\&={\sqrt {3}}\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle {-90}^{\circ },\\\mathbf {V} _{31}&=\mathbf {V} _{3}-\mathbf {V} _{1}=(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 120^{\circ })-(\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 0^{\circ })\\&={\sqrt {3}}\mathbf {V} _{\text{Ln}}\angle 150^{\circ }.\\\end{aligned}}}$ 

Altså er forholdet mellom spenningen mellom hver av terminalene og nøytralpunktet ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}=1,73}$ . Videre er faseforskyvningene mellom fasevektorene 30º. I elektroteknikken kalles spenningene V₁₂, V₂₃ og V₃₁ for hovedspenninger eller linjespenninger, mens spenningene V_1n, V_2n og V_3n kalles for fasespenninger. Videre kalles strømmene i hver av lederne for linjestrømmer. For et Y-Y-arrangement som vist her vil linjestrømmer og fasestrømmer være like, dette i motsetning til i en trekantkobling.

 

Med en trekantkoblet (D-koblet) last som i figuren til venstre er det ikke noen forskjell på spenningen mellom faselederne og spenningen over impedansene (Z_Δ). Derimot er det strømmene som er forskjellige i lederne frem mot lasten og over de tre impedansene. For strømmene I₁₂, I₂₃ og I₃₂ som går over impedansene følger:

${\displaystyle \mathbf {I} _{12}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (0^{\circ })}$ 

${\displaystyle \mathbf {I} _{23}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (-120^{\circ })}$ 

${\displaystyle \mathbf {I} _{32}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (120^{\circ })}$ 

Her er størrelsen I_ϕ brukt for å markere strøm per fase og I₁₂ er benyttet som referanse. For å finne forholdet mellom linjestrømmer og fasestrømmer benyttes Kirchhoffs strømlov:

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}=\mathbf {I} _{12}-I_{31}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (0^{\circ })-\mathbf {I} _{\theta }\angle (120^{\circ })={\sqrt {3}}\mathbf {I} _{\theta }\angle (-30^{\circ })}$ 

${\displaystyle \mathbf {I} _{2}=\mathbf {I} _{23}-I_{12}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (120^{\circ })-\mathbf {I} _{\theta }\angle (0^{\circ })={\sqrt {3}}\mathbf {I} _{\theta }\angle (-150^{\circ })}$ 

${\displaystyle \mathbf {I} _{3}=\mathbf {I} _{31}-I_{23}=\mathbf {I} _{\theta }\angle (120^{\circ })-\mathbf {I} _{\theta }\angle (120^{\circ })={\sqrt {3}}\mathbf {I} _{\theta }\angle (90^{\circ })}$ 

Her er størrelsen som nevnt størrelsen I_ϕ brukt for å markere strøm per fase. For øvrig er det vanlig at denne markerer per fase enheter for spenning (V_ϕ), effekt (P_ϕ), reaktiv effekt (Q_ϕ) og impedans (Z_ϕ)

Ligningene over viser at størrelsen av linjestrømmene (I er ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$  ganger større en fasestrømmene, samt at faseforskyvningen mellom disse er 30º. Når det gjelder impedansene i den D-koblede lasten kan en ved stjerne-trekanttransformasjon vise at impedansen i hvert av greinene i stjernen (Z_Δ) er lik en tredjedel av impedansen i hver side av trekanten (Z_Y). Altså slik:

${\displaystyle Z_{\Delta }/3=Z_{\text{Y}}}$ 

I en krets med trefase vekselspenning og strømmer som er syklisk symmetrisk er det unødvendig å beskrive de tre fasene hver for seg. Bare i tilfelle av usymmetrisk belastning eller feiltilstander (kortslutninger) som gir usymmetriske strømmer eller spenninger må en ta hensyn til alle tre fasene. For dette benyttes en teknikk kjent som symmetriske komponenter.

Ved analyse av et trefasesystem foretas såkalt per fase-transformasjon, og en behandler kretsen som om den var en enfasekrets. En må imidlertid huske å gjøre forskjell på faseverdier og linjeverdier. Dessuten er det som regel effektivverdier (rms) som er av interesse og ikke toppverdier, ligningene og sammenhengene blir uansett de samme.

 

Om en har en Y-koblet last som vist i figuren over vil midlere effekten som utvikles i hver av impedansene (Z_Y) i greinene være gitt av:

${\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=V_{\phi }I_{\phi }\cos \phi }$ 

Der faseverdier er innført for alle størrelsene som er en mulighet forklart lenger opp. Vinkelen ϕ er eventuelt faseforskyvning fordi lasten kan bestå av både resistans (R) og reaktans (X). Det er den totale effekten i hver av grenene som er av interesse og denne finnes slik:

${\displaystyle P_{T}=3P_{\phi }=3V_{\phi }I_{\phi }\cos \phi }$ 

Det er videre ønskelig å uttrykke effekten som effektivverdier (rms) av linjespenning (V_L) og strøm (I_L). Tidligere er det vist at spenningen (fasespenningen) over hver impedans i grenene av en Y-kobling er ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$  mindre enn linjespenningen. Dermed kan det utledes at:

${\displaystyle P_{T}=3\left({\frac {V_{L}}{\sqrt {3}}}\right)I_{L}={\sqrt {3}}V_{L}I_{L}\cos \phi }$ 

Videre kan det for total reaktiv effekt vises at:

${\displaystyle Q_{T}=3({\frac {V_{L}}{\sqrt {3}}})I_{L}={\sqrt {3}}V_{L}I_{L}\sin \phi }$ 

Tilsynelatende effekt er vektorproduktet av strøm og spenning som kan uttrykkes slik for effekten i hver gren av den Y-koblede lasten:

${\displaystyle S=P+jQ=\mathbf {V_{L}} \mathbf {I_{L}} ^{*}}$ 

Der symbolet * betyr den komplekskonjugerte av strømmen. Uttrykket kan også skrives uten bruke av fasevektorer. For total effekt fås:

${\displaystyle S_{T}=3S_{\phi }={\sqrt {3}}V_{L}I_{L}}$ 

I en D-koblet last er det som nevnt strømmen som er ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {3}}}$  mindre enn linjestrømmen. Dermed kan total midlere effekt skrives slik for en D-koblet last:

${\displaystyle P_{T}=3P_{\phi }=3V_{\phi }I_{\phi }\cos \phi =3V_{L}({\frac {I_{L}}{\sqrt {3}}})={\sqrt {3}}V_{L}I_{L}\cos \phi }$ 

Dette er altså helt identisk med ligningen for effekt fra en Y-koblet last. Også uttrykkene for reaktiv og tilsynelatende effekt blir de samme.

Konseptuelt ønsker en at en generator for vekselstrøm skal produsere en sinusformet spenning, samt gi en sinusformet strøm når den belastes. De to animasjonene over av henholdsvis enfaset og trefaset generator vil på ingen måte produsere en slik spenning, men gi en spenning som fraviker mye fra en sinusform. En virkelig generator konstrueres med distribuerte viklinger rundt statoren, i tillegg til at spesielle teknikker tas i bruk for å optimalisere maskinen for å få en sinusformet spenning. Samtidig lages rotoren med det for øye at magnetfeltet som settes opp skal bli sinusformet. Disse konstruksjonsmessige tiltakene gjøres for at spenningen skal bli sinusformet, men helt perfekt blir allikevel ikke resultatet. Forvrenginger av sinuskurven må forventes fra alle generatorer, og kan være i størrelsen 1-2 %^[24].

En matematisk metode for å analysere forvrenginger av en sinusfunksjon er fouriertransformasjon. I korthet går dette ut på at et vist antall av sinusfunksjoner med høyere frekvenser enn grunnfrekvensen (50 Hz eller 60 Hz) identifiseres i en gitt spenning eller strøm. Oftest er disse hele multipler av grunnfrekvensen og da kalles dette for overharmoniske. En spenning fra en synkrongenerator kan for eksempel sies å ha et visst innhold av 5. og 7. harmoniske. Om den er konstruert for spenning med 50 Hz, finnes det da sinuskomponenter med henholdsvis 5·50 = 250 Hz og 7·50 = 350 Hz i spenningen fra generatoren.

 

Når en last blir påsatt en sinusformet spenning vil strømmen som trekkes av denne være bestemt av dens impedans. Strømmen som trekkes vil for en såkalt lineær belastning være sinusformet. Eksempler på slike laster er varmeovner, glødelamper og andre rent ohmske apparater, men også spoler og kondensatorer kan trekke sinusformede strømmer. Derimot er en ulinæer last en som ikke trekker sinusformet strøm, som eksempel kan nevnes et lysstoffrør, kvikksølvlampe og apparater med kraftelektronikk (likeretter og vekselretter i sammenheng med elektroniske apparater og motordrifter). Et annet eksempel er transformatorer der magnetiseringsstrømmen er svært ulik en sinusfunksjon. Dette vil spesielt være merkbart om transformatoren går i tomgang, altså er ubelastet. Samme fenomen har en i elektriske motorer der magnetfelt i jernet i rotor og stator er vesentlig del av denne typen maskiner.

En vanlig kvalitetsindeks for spenningens innhold av overharmoniske er den såkalte THD-faktoren. På engelsk betyr dette «Total harmonic distortion» som oversatt betyr total harmonisk forvrengning. Denne er definert slik:

${\displaystyle \mathrm {THD} \,=\,{\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots }}{V_{1}}}}$ 

hvor V_n er RMS-spenningen av den n'te harmoniske og n = 1 er den grunnharmoniske frekvensen. Bruk av denne formelen gir et desimaltall mellom 0 og 1, ofte gjøres dette om til et prosenttall. Formelen gjelder også for strømmer. I det ideelle tilfellet er THD = 0, altså at en kun har en sinusformet spenning eller strøm.

Ulempen med overharmoniske komponenter av strømmer og spenninger i et kraftsystem er flere. I elektriske motorer og transformatorer fører dette ekstra tap i jernet som magnetfeltene går gjennom (rotor og stator i elektriske maskiner er laget av stål, det samme med kjernen i en transformator). Et annet fenomen er at overharmoniske fører vibrasjoner (rippel-moment) i motorer, som i verste fall kan gi resonanssvingninger som ødelegger motoren og tilknyttet utstyr.^[24]

• Energikilde

• Hugo D. Young og Roger A. Freedman (2008). University Physics (på engelsk) (XII utg.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1. 
• James W. Nilsson (1990). Electric Circuits (på engelsk) (tredje utg.). Ames, Iowa: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51036-7. 
• Prabha Kundur (1993). Power system stability and control (på engelsk). McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-035958-X. 

• «Vekselstrøm», fra Nasjonal digital læringsarena