Cevas setning

Cevas setning er et teorem i geometrien som omhandler en bestemt egenskap ved en trekant. Hvis man trekker linjer gjennom hvert hjørne av trekanten, gir det en betingelse som må være oppfylt for at de tre linjene skal gå gjennom ett og samme punkt. Det ble oppdaget av den italienske matematikeren Giovanni Ceva på 1600-tallet, men var tidligere kjent i den arabiske verden.

La hjørnene til trekanten ligge i punktene A, B og C. Trekker man rette linjer gjennom dem, vil de skjære de motsatte sidene i punktene D, E og F. Hver slik linje kalles for en cevian. Hvis den treffer den motsatte siden i dens midtpunkt, blir den en median.

Cevas setning sier at de tre cevianene i trekanten ABC skjærer hverandre i et bestemt punkt O  hvis og bare hvis de deler de motstående sidene slik at betingelsen

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}$

er oppfylt. I euklidsk geometri er hver brøk som for eksempel AF/FB, gitt ved forholdet mellom lengdene til linjestykkene AF og FB. Men denne setningen er mer generelt gyldig i affin geometri hvor den samme brøken er entydig gitt ved det tilsvarende delingsforholdet.

Oppdagelsen av dette teoremet gjorde Ceva i forbindelse med beregninger av tyngdepunktene til masser i forskjellige, geometriske konfigurasjoner. I samme forbindelse gjennoppdaget han også Menelaos' teorem som var blitt formulert omtrent fem hundre år tidligere. Det gir en tilsvarende betingelse for at tre punkter på sidene til en trekant ligger på en rett linje.

Setningen omhandler kun punkter, linjer gjennom disse og skjæringspunkter mellom disse igjen. Den kan derfor bevises i affin geometri som er mer generell enn euklidsk geometri. Beviset for dens gyldighet blir da også enklere og automatisk også gyldig i euklidsk geometri.

Hvis de tre linjene skjærer hverandre i O, kan man angi det ved å benytte barysentriske koordinater basert på de tre hjørnepunktene A, B og C  til trekanten. Kaller man disse koordinatene for (a,b,c), vil da O = aA + bB + cC  hvor a + b + c = 1. Hvis man nå betrakter for eksempel linjen fra hjørnet A, så vil dets skjæringspunkt D med motsatt side ligge på linjen mellom hjørnene B og C. Da vil skjæringspunktet O ligge på linjen mellom A og D  slik at man må ha at O = aA + (1 - a)D. Det betyr at bB + cC = (1 - a)D. Dermed er størrelsen på delingsforholdet (B,C;D), som angir hvordan D deler linjestykket BC, gitt ved

${\displaystyle {BD \over DC}={c \over b}}$

Ved samme betraktning for de andre hjørnene, finner man at CE/EA = a/c  og AF/FB = b/a. Cevas setning følger nå ved å multiplisere disse tre delingsforholdene sammen.

Giovanni Ceva kom frem til sin setning ved en beregning av tyngdepunktet til tre masser m_A, m_B  og m_C  plassert i punktene A, B og C. Denne kan gjøres for eksempel ved å først finne tyngdepunket for massene m_A  og m_B . Det må ligge på linjestykket BC i et punkt D bestemt ved m_B⋅BD = m_C⋅DC. Alle tre massene må derfor ha et felles tyngdepunkt liggende på linjen AD hvor punktet D oppfyller

${\displaystyle {m_{C} \over m_{B}}={BD \over DC}}$

Ved å kombinere i stedet massene m_C  og m_A, vil de ha et felles tyngepunkt E bestemt ved m_A/m_C = CE/EA. Likedan vil massene m_A  og m_B  ha felles tyngepunkt F bestemt ved m_B/m_A = AF/FB. Tyngepunktet for alle tre massene må derfor også ligge på linjene BE og CF. Og da dette må være ett bestemt punkt, betyr det at de tre linjene AD, BE og CF må alle gå gjennom samme punkt O. Betingelsen til Ceva følger nå fra produktet (m_B/m_A)⋅(m_C/m_B)⋅(m_A/m_C) = 1.

Dette mekaniske beviset forklarer hvorfor koordinatene benyttet i det geometriske beviset, blir omtalt som barysentriske da de kan identifiseres med de fiktive massene som inngår her.

Den enkleste anvendelse av Cevas setning er beviset for at medianene i en trekant går gjennom et felles punkt. Hver slik median er definert som linjestykket fra et hjørne til midtpunktet av motsatte side. Da vil alle forholdene AF/FB = 1, BD/DC = 1 og CE/EA = 1 slik at betingelsen til Ceva er oppfylt. De tre medianene går derfor gjennom punktet O. Det er tyngdepunktet til trekanten når like masser er plassert i hvert hjørne.

En høyde i en trekant er definert ved et linjestykket fra et hjørne som står normalt eller vinkelrett på motsatte side. For en slik høyde vil da punktet D ligge slik at trekantene ACE og BCE er likeformede. Det gir at CE/DC = BE/AD. På samme måte vil da også AF/EA = CF/BE og BD/FB = AD/CF. Ved å multiplisere disse tre forholdene sammen resulterer (AF/EA)⋅(CE/DC)⋅(BD/FB) = (CF/BE)⋅(BE/AD)⋅(AD/CF) = 1. Cevas betingelse er derfor oppfylt. Det betyr at de tre høydene går gjennom et felles punkt som vanligvis kalles trekantens ortosenter.

En halveringslinje fra hjørnet A halverer vinkelen mellom sidene AB og AC i trekanten. Ifølge halveringslinjesetningen vil den da skjære motstående side i et punkt D slik at BD/DC = AB/CA. På samme måte vil halveringslinjen fra hjørnet B skjære siden CA i et punkt E slik at CE/EA = BC/AB og likedan fra hjørnet C som gir AF/FB = CA/BC. Multipliseres disse tre forholdene sammen, finner man at Cevas betingelse (AF/FB)⋅(BD/DC)⋅(CE/EA) = (CA/BC)⋅(AB/CA)⋅(BC/AB) = 1 er oppfylt.

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.

• Cut the Knot, Ceva's theorem, på engelsk.