LC-kring

Een LC-kring heeft geen weerstand. Als deze kring wordt aangestoten, bijvoorbeeld door de condensator op te laden, ontstaat een oscillatie met frequentie ${\displaystyle f_{0}}$ , waarbij periodiek energie van de condensator naar de spoel gaat en omgekeerd. Zonder weerstand treden geen verliezen op en zal de kring blijven oscilleren.

De resonantie-hoekfrequentie ${\displaystyle \omega _{0}}$  (in radialen per seconde) wordt gegeven door:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\cdot C}}}}$ 

waarin

${\displaystyle L}$  de zelfinductie van de spoel in henry, en

${\displaystyle C}$  de capaciteit van de condensator in farad

De resonantiefrequentie ${\displaystyle f_{0}}$  is dan:

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$ 

dus:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L\cdot C}}}}}$ 

Uit de spanningswet van Kirchhoff volgt dat de spanning ${\displaystyle V_{C}}$  over de condensator in grootte gelijk moet zijn aan de spanning ${\displaystyle V_{L}}$  over de spoel:

${\displaystyle V_{C}=-V_{L}}$ 

Op dezelfde manier volgt uit de stroomwet van Kirchhoff dat de stromen door de condensator en de spoel aan elkaar gelijk moeten zijn:

${\displaystyle i_{C}=i_{L}}$ 

Ook is

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{L}}{\mathrm {d} t}}}$ 

en

${\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}}$ 

Na herschrijven en vervangen, volgt een tweede-ordedifferentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}$ 

Definieer:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$ 

Met deze definitie is de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0}$ 

Een wellicht mogelijke oplossing invullen, van de gedaante

${\displaystyle i(t)=e^{at}}$ 

levert met differentiëren en wegdelen van ${\displaystyle e^{at}}$  een voorwaarde voor ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle a^{2}+\omega ^{2}=0}$ ,

en dus zijn er twee oplossingen voor ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle a=+j\omega }$ 

en

${\displaystyle a=-j\omega }$ 

met ${\displaystyle j}$  de imaginaire eenheid.

De volledige oplossing van de differentiaalvergelijking is:

${\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}}$ 

De integratieconstanten ${\displaystyle A}$  en ${\displaystyle B}$  volgen uit de begincondities (de waarden van ${\displaystyle i}$  en ${\displaystyle V}$  op tijdstip nul).

 

Het LC-stroomschema vormde mogelijk de inspiratie voor de creatie van Mr. Chad.^[1]

• RLC-kring