López komt uit de jeugdopleiding van Sporting Gijón. Hij debuteerde op 1 november 2012 in het eerste elftal, tegen CA Osasuna in de Copa del Rey. Vijftien dagen later debuteerde hij in de Segunda División, tegen SD Ponferradina. In januari 2013 werd hij definitief bij het eerste elftal gehaald. Op 2 augustus 2013 tekende López een vierjarig contract bij AS Monaco, dat een bedrag van 2,2 miljoen voor hem betaalde. Hij kreeg bij AS Monaco het rugnummer 4. Na verhuurperiodes bij Rayo Vallecano (2014) en Deportivo La Coruña (2015), werd López in 2016 gecontracteerd door FC Barcelona voor het tweede elftal van de club. Op 30 november speelde López zijn eerste wedstrijd voor het eerste elftal van Barça tegen Hércules CF in de Copa del Rey. Hij was basisspeler.
Borja López kwam uit voor diverse Spaanse jeugdelftallen. Hij behaalde onder meer vier caps voor Spanje -20.