Bézierkromme

De béziercurve van graad ${\displaystyle n}$ , bepaald door de ${\displaystyle n+1}$  punten ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$  in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , is de parametrische kromme gegeven door:

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)P_{i}}$  met ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 

Daarin zijn de ${\displaystyle b_{i,n}}$  bernsteinpolynomen gedefinieerd als:

${\displaystyle b_{i,n}(t)={\tbinom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}}$  met ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ 

 

 

 

 

De bézierkromme van de graad een, bepaald door de twee punten ${\displaystyle P_{0}}$  en ${\displaystyle P_{1},}$  is het verbindende lijnstuk tussen deze twee punten:

${\displaystyle B(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}}$  met ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 

De bézierkromme van de graad twee, bepaald door de drie punten ${\displaystyle P_{0},P_{1}}$  en ${\displaystyle P_{2}}$ , is de kromme:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}}$  met ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 

De kromme ligt in het vlak door de gegeven drie punten. De drie punten uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn:

${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ 

De vergelijking van de betreffende bézierkromme is uitgeschreven

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}(y_{0}+y_{2}-2y_{1})^{2}\ +}$ 

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}(x_{0}+x_{2}-2x_{1})^{2}\ -}$ 

${\displaystyle 2(x-x_{0})(y-y_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})\ +}$ 

${\displaystyle 4[(x-x_{0})(y_{1}-y_{0})-(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})]\ *}$ 

${\displaystyle [(x_{1}-x_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})-(y_{1}-y_{0})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})]}$ 

${\displaystyle =0}$ 

De kromme ligt ook in drie dimensies in het vlak door de gegeven drie punten, die zijn gegeven door ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ . De vergelijkingen voor de kromme kunnen ook daarvoor worden opgesteld, maar zijn nogal wijdlopig.

De bézierkromme van graad drie, opgebouwd uit de vier punten ${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ P_{2}}$  en ${\displaystyle P_{3}}$ , die in een vlak of in de ruimte liggen, is:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}P_{1}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3}}$  met ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 

Definieer ${\displaystyle B_{P_{0}P_{1}\ldots P_{k}}}$  als de bézierkromme die door de punten ${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ \ldots \ ,\ P_{k}}$  is bepaald. Dan zijn

${\displaystyle B_{P_{0}}(t)=P_{0}\quad }$  en

${\displaystyle B(t)=B_{P_{0}P_{1}\ldots P_{n}}(t)=(1-t)\ B_{P_{0}P_{1}\ldots P_{n-1}}(t)+tB_{P_{1}P_{2}\ldots P_{n}}(t)}$ 

Hiermee zijn de bézierskrommes op een recursieve manier gedefinieerd, die door een willekeurig aantal punten zijn bepaald.

Derdegraads bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt ${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ P_{2}}$  en eindpunt ${\displaystyle P_{3}}$  en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten ${\displaystyle P_{1}}$  en ${\displaystyle P_{2}}$  zo met de gewenste begin- en eindrichting worden aangepast, zodat de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

• voor afbeeldingen in grafisch programma's om gladde krommen te tekenen
• in TrueType-lettertypes, die worden met eenvoudige kwadratische bézierkrommes geschreven
• voor digitale animatie om een zo natuurlijk mogelijke beweging te simuleren

 

Zie de categorie Bezier Curves van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.