Pi

Simbol yang digunakan oleh ahli matematik untuk mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya ialah huruf kecil Yunani ${\displaystyle \pi }$ , yang dieja sebagai pi.^[8] Dalam bahasa Inggeris, ${\displaystyle \pi }$  disebut sebagai "pai" (/paɪ/).^[9]

Dalam penggunaan matematik, huruf kecil ${\displaystyle \pi }$  dibezakan daripada huruf besar. ${\displaystyle \prod }$  menandakan hasil darab jujukan, sama dengan cara ${\displaystyle \sum }$  menandakan penjumlahan.

 

${\displaystyle \pi }$  secara lazimnya ditakrifkan sebagai nisbah lilitan bulatan ${\displaystyle C}$  kepada diameternya ${\displaystyle d}$ .^[10]

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ 

Nisbah ${\displaystyle C/d}$  adalah malar, tanpa mengira saiz bulatan. Sebagai contoh, jika bulatan mempunyai dua kali diameter bulatan lain, ia juga akan mempunyai dua kali lilitan, mengekalkan nisbah ${\displaystyle C/d}$ . Definisi ${\displaystyle \pi }$  ini secara tersirat menggunakan geometri Euclid; walaupun tanggapan bulatan boleh dilanjutkan ke mana-mana geometri bukan Euclid, bulatan baharu ini tidak lagi memenuhi rumusan ${\displaystyle \pi =C/d}$ .^[10]

Di bawah, lilitan bulatan ialah panjang lengkok perimeter bulatan, suatu kuantiti yang boleh ditakrifkan secara formal tanpa geometri, menggunakan konsep had.^[11] Sebagai contoh, anda boleh mengkomput secara langsung panjang lengkung di separuh atas bulatan unit, dalam koordinat Cartes dengan persamaan, dengan kamiran;^[12]

${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}$ 

Kamiran seperti ini telah dicadangkan sebagai definisi ${\displaystyle \pi }$  oleh Karl Weierstrass, yang mentakrifkannya secara langsung sebagai kamiran pada tahun 1841.

Kamiran tidak lagi biasa digunakan dalam definisi analitikal pertama kerana, seperti yang dijelaskan dalam Remmert 2012, kalkulus pembezaan biasanya mendahului kalkulus kamiran dalam kurikulum universiti, jadi adalah wajar untuk mempunyai definisi ${\displaystyle \pi }$  yang tidak bergantung pada yang terakhir. Satu definisi sedemikian, disebabkan oleh Richard Baltzer^[13] dan dipopularkan oleh Edmund Landau^[14][15], adalah seperti berikut: ${\displaystyle \pi }$  ialah dua kali nombor positif terkecil di mana fungsi kosinus sama dengan 0.^[10][12][16] ${\displaystyle \pi }$  juga merupakan nombor positif terkecil di mana fungsi sinus sama dengan sifar, dan perbezaan antara sifar berturut-turut bagi fungsi sinus. Kosinus dan sinus boleh ditakrifkan secara bebas daripada geometri sebagai siri kuasa,^[17] atau sebagai penyelesaian persamaan pembezaan.^[16]

Serta itu, ${\displaystyle \pi }$  boleh ditakrifkan menggunakan sifat eksponen kompleks, ${\displaystyle \mathrm {exp} \,z}$ , pemboleh ubah kompleks ${\displaystyle z}$ . Seperti kosinus, eksponen kompleks boleh ditakrifkan dalam salah satu daripada beberapa cara. Set nombor kompleks di mana ${\displaystyle \mathrm {exp} \,z}$  bersamaan dengan ${\displaystyle 1}$  kemudiannya merupakan janjang aritmetik (khayal) bagi bentuk:

${\displaystyle \{\cdots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\cdots \}=\{2\pi ki\,|\,k\in \mathbb {Z} \}}$ 

...dan terdapat nombor nyata positif unik ${\displaystyle \pi }$  dengan sifat ini.^[12][18]

Variasi pada idea yang sama, menggunakan konsep matematik yang canggih bagi topologi dan algebra, ialah teorem berikut:^[19] Terdapat isomorfisme berterusan unik (sehingga automorfisme) daripada kumpulan R/Z nombor nyata di bawah integer modulo penambahan (kumpulan bulatan), ke kumpulan pendaraban nombor kompleks nilai mutlak satu. Nombor ${\displaystyle \pi }$  kemudiannya ditakrifkan sebagai separuh daripada magnitud terbitan homomorfisme ini.^[20]

${\displaystyle \pi }$  ialah nombor bukan nisbah, bermakna ia tidak boleh ditulis sebagai nisbah dua integer. Pecahan seperti ⁠${\displaystyle 22/7}$  dan ${\displaystyle 355/113}$  lazimnya digunakan untuk menganggarkan ${\displaystyle \pi }$ , tetapi tiada pecahan sepunya (nisbah nombor bulat) boleh menjadi nilai tepatnya.^[21] Oleh kerana ${\displaystyle \pi }$  adalah tidak bernisbah, ia mempunyai bilangan digit yang tidak terhingga dalam perwakilan perpuluhannya, dan tidak menetap dalam pola digit berulang yang tidak terhingga. Terdapat beberapa bukti bahawa ${\displaystyle \pi }$  adalah tidak bernisbah; mereka biasanya memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Tahap di mana ${\displaystyle \pi }$  boleh dianggarkan dengan nombor nisbah tidak diketahui dengan tepat; anggaran telah menetapkan bahawa ukuran tidak nisbah adalah lebih besar atau sekurang-kurangnya sama dengan ukuran ${\displaystyle e}$  tetapi lebih kecil daripada ukuran nombor Liouville.^[22]

Digit-digit ${\displaystyle \pi }$  tidak mempunyai corak yang jelas dan telah lulus ujian untuk rawak statistik, termasuk ujian untuk kenormalan; sebilangan panjang tak terhingga dipanggil normal apabila semua jujukan digit yang mungkin (dari mana-mana panjang tertentu) muncul sama kerap. Dugaan bahawa ${\displaystyle \pi }$  adalah normal masih belum dibuktikan atau disangkal.^[23]

Sejak kemunculan komputer, sejumlah besar digit ${\displaystyle \pi }$  telah tersedia untuk melakukan analisis statistik. Yasumasa Kanada telah melakukan analisis statistik terperinci pada digit perpuluhan ${\displaystyle \pi }$ , dan mendapati ia konsisten dengan kenormalan; sebagai contoh, frekuensi sepuluh digit 0 hingga 9 tertakluk kepada ujian keertian statistik, dan tiada bukti corak ditemui.^[24] Mana-mana jujukan digit rawak mengandungi urutan panjang sewenang-wenangnya yang kelihatan bukan rawak, mengikut teorem monyet tak terhingga.

Maka, kerana jujukan digit ${\displaystyle \pi }$  melepasi ujian statistik untuk rawak, ia mengandungi beberapa jujukan digit yang mungkin kelihatan bukan rawak, seperti urutan enam 9 berturut-turut yang bermula pada tempat perpuluhan ke-762 bagi perwakilan perpuluhan ${\displaystyle \pi }$ .^[25] Ini juga dipanggil "titik Feynman", selepas Richard Feynman, walaupun tiada kaitan dengan Feynman diketahui.

Selain bukan nisbah, ${\displaystyle \pi }$  juga merupakan nombor transenden, yang bermaksud bahawa ia bukan penyelesaian sebarang persamaan polinomial tidak tetap dengan pekali bernisbah, seperti ${\displaystyle (x^{5}/120)-(x^{3}/6)+x=0}$ .^[26] Ini berikutan daripada teorem yang dikenali sebagai teorem Lindemann–Weierstrass, yang juga menetapkan transendensi nombor Euler.

1. Kamiran khusus yang digunakan Weierstrass ialah ${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx}$