Triangulum

Summa angulorum internorum trianguli est 180°: a + b + c = 180°

Area A trianguli datur a formula

${\displaystyle A={1 \over 2}\,c\,h}$ 

ubi c est longitudo lateris trianguli in figura supra descripta, et h est altitudo puncti C data a formula

${\displaystyle h=b\,\sin \alpha }$ 

Equivalenter, possumus scribere

${\displaystyle A={1 \over 2\,}c\,b\,\sin \alpha ={1 \over 2\,}a\,b\,\sin \gamma ={1 \over 2\,}a\,c\,\sin \beta }$ .

 

Triangulum rectum seu triangulum anguli recti est triangulum cui est unus angulus rectus (i.e., 90°). Latus angulo recto contrarium dicitur hypotenusa, et alia duo latera dicuntur catheti. Quod ad triangula recta attinet, praesertim haec duo theoremata maximi momenti sunt: theorema Pythagorae et theorema altitudinis.

  De historia: Pythagoras re vera non fuit qui primus theoremate sibi tributo usus est, namque etiam Babylonii id cognoverunt. Alii fontes dicunt Aegyptios seu Indos primos fuisse.

Si in figura prima supra adlata, angulus γ = 90°, tunc latus c est hypotenusa et latera a et b sunt catheti. Tunc theorema Pythagorae dicit

${\displaystyle \mathbf {c^{2}=a^{2}+b^{2}} }$ 

vel explicate:

${\displaystyle {\text{hypotenusa}}^{2}={\text{cathetus primus}}^{2}+{\text{cathetus secundus}}^{2}\ }$ 

 

  De historia: Euclides, mathematicus Graecus (saec. IV a.C.n.), et theorema altitudinis et theorema Pythagorae in opere suo, quod de Elementis scripsit, exhibuit.

Altitudo ${\displaystyle h}$  hypotenusam ${\displaystyle c}$  in partes duas dividit: ${\displaystyle p}$  sub catheto ${\displaystyle b}$  et ${\displaystyle q}$  sub catheto ${\displaystyle a}$ . Ergo ${\displaystyle c=p+q}$ . Tunc theorema altitudinis dicit

${\displaystyle h^{2}=pq}$    vel   ${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$ .

Theoremate Pythagorae ad triangula usi habemus

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a^{2}&=&q^{2}+h^{2}\\b^{2}&=&p^{2}+h^{2}\\c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\end{array}}}$ 

Additis aequationibus prima et secunda habemus

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p^{2}+q^{2}+2h^{2}.}$ 

Et ${\displaystyle c=p+q}$  in aequatione tertia substituendo obtinemus

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}.}$ 

His aequationibus obtinemus

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p^{2}+q^{2}+2h^{2}&=&p^{2}+2pq+q^{2}\\2h^{2}&=&2pq\\h^{2}&=&pq\end{array}}}$ 

aut aequivalenter

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$ .

QED.

Tectum creare vis quod angulum rectum habet. Si p = 4 et q = 9 pedes, quae est altitudo h?

Solutio: 4*9 = 36, et h = 6 pedes.

 

Triangulum aequilaterum tres angulos aequales, tria quoque latera aequalia habet. Sex talia triangula hexagonum faciunt. Totius plani per triangula aequilatera tesselatio est deltilus.

• Trigonometria
• Trisceles
• Triangulum arithmeticum Pascalianum
• Triangulus rectus praecipuus

• De triangulo, Theodisce
• De sententia Pythagorae, Theodisce

Figurae geometricae communes

Triangulum	Parallelogrammum	Rectangulum	Quadrum	Circulus	Pyramis	Cubus	Sphaera