Numerus

Vide etiam paginam discretivam: Numeri (discretiva).

Numerus (i, m.) est cogitatio, quae finitam multitudinem ex unitatibus constitutam describit. Numeris homines multa ordinant sicut tempus, divitias, et longitudinem, res quoque minoris momenti, sicut locos in ordine sive cursus telephonicos.

Numeri Mayorum Indorum Americae meridionalis.

Tesseris et inscriptionibus in ossibus lapidibusque inventis, usus numerorum primus fertur fuisse annorum fere 35 000 ante aer. vulg., inde per saecula artes colebamus quibus operationes cum numeris facilius callidiusque faceremus. Earum sunt simplices additio, subtractio, multiplicatio, et divisio, e quibus artes elegantiores sicut calculus infinitesimalis et trigonometria lente creverunt. Inventiones usus harum artium plane monstrant numeros omnes non aequales esse, etiam monstrant necessitudine exstare numeroros plus minusve difficiles intellectu. In mathematica ergo numeri possunt esse quoque multitudines negativae, infinitae, decimales, sive impossibiles ac theoreticae.

Symbola quibus scribimus numeros sunt cifrae in systemate numerali, vulgo autem numeri quoque appellantur. Licet systema numerale unum facile a variis culturis linguisque usurpetur, nomina numeralia sunt autem linguae praecipua. Ratio, qua numeri ordinantur, est systema numericum. Latissime adhibetur systema decimale, systemata duodecimale et sexagesimale interdum inveniuntur. Computatra utuntur systemate binario.

Etymologia

De etymologia ambigitur, sed nihil obstat, quin numerus ante rhotacismum *nomesos fuerit, cui a Benveniste significatio 'pars, quantitas' restituta est.^[1] Si hoc adprobemus, faciliter videamus hoc nomen, stirpe *nom-es- nixum, positum esse in radice *nom-, quae ex relatione metaphonica ad radicem *nem- 'dividere, impertire, adtribuere' sit. Hac relatione interposita, constet permulta vocabula Graeca huc pertinere, sicut νέμω 'divido; pasco', νομός 'pascua; domicilium', νομάς 'qui vitam pastoriciam agit, nomas', νόμος 'mos; lex' – nec non aliquot vocabula aliarum linguarum, sicut Gothice niman 'capere', Lithuanice namas 'domus, aedes', Lingua Hibernica antiqua nem 'donum'. Sunt etiam qui de numero huc referendo dubitent.^[2]

Categoriae numerorum

Systemata Numerica Mathematicae
Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Etiamsi late intelligitur numerum posse quamlibet magnitudinem esse, proprietates omnium numerorum non sunt inter se aequales. Ergo est prima dissimilitudo inter numeros exempli gratia {0, 1, 2, 3 . . .}, {. . . -3, -2, -1, 0}, 2/4, π ac e, ${\sqrt {2}}$ , vel ${\sqrt {-1}}$ .

Numeri naturales

\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}

sive

\mathbb {N} =\mathbb {N} _{+}=\{1,2,3,4,5,\ldots \}

In numeris naturalibus exagere licet additionem et multiplicationem. Subtractio solum est possibilis, si minuendus maior est aut aequus quam subtrahendus; aliter necesse est numeris integris. In divisione in casibus plerisque numerus rationalis resultat, neque naturalis.

Potentia numeri naturalis iterum est naturalis, sed demonstrare possibile neque difficile est radicem semper esse irrationalem, nisi numerus est quadratum (0, 1, 4, 9, 16, ...); in hoc casu scilicet radicem naturalem.

Numeri integri

Cum subtrahitur numerus naturalis de alio naturali, exsultat interdum non naturalis sed numerus qui est minor quam nullus. Numeri naturales et hi nullo minores appellantur universi numeri integri. Numeri integri generaliter littera $\mathbb {Z}$ designantur. Ergo

\mathbb {Z} =\{\ldots \,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}

Numeri irrationales

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus $N$ est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles $a$ et $b$ tales ut

N={\frac {a}{b}}

non sunt.

Exempli gratia numerum ${\sqrt {2}}$ esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

{\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}

,

ubi $a,b$ factores primos aequales non habent. In sequentibus disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc $a^{2}=2b^{2}$ , ergo $a^{2}$ est numerus par ideoque $a$ quoque est numerus par (si $a$ numerus impar esset tunc quoque $a^{2}$ numerus impar esset). Cum numerus $a$ sit par notum est numerum k esse talem ut $a=2k$ , unde a prima aequatione sequitur $2b^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$ , ergo $b^{2}=2k^{2}$ . Simili modo comprobatur numerum $b$ esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros $a,b$ qui factores aequales non habeant. Ergo coniectura ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ erat falsa ideoque ${\sqrt {2}}$ est numerus irrationalis QED.

Numeri transcendentes

Numerus transcendens est numerus, qui non est algebraicus. Id est: Sit $x\in \mathbb {R}$ numerus transcendens. Tunc nullus est $n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace$ et nulli sunt $a_{i}\in \mathbb {Q} \ (0\leq i\leq n-1)$ , ut $\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}\cdot x^{i}}+x^{n}=0$ sit.

π ac e

Numeri imaginarii

Quantitas imaginaria, vel numerus imaginarius, est numerus complexus cuius potestas quadrata est numerus negativus.

${\sqrt {-1}}$

Systemata numerica

*Tetraktys* Pythagorae decem punctos in triangulo ponit.

Numeri ab 1 ad 10 in nonnullis linguis
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Arabica	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩	١٠
Bengala	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯	১০
Devanagari	१	२	३	४	५	६	७	८	९	१०
Graeca	αʹ	βʹ	γʹ	δʹ	εʹ	στʹ	ζʹ	ηʹ	θʹ	ιʹ
Hebraica	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח	ט	י
Malaica	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯	൧൦
Phoenicia
Romana	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Siamensis	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙	๑๐
Sinica	一	二	三	四	五	六	七	八	九	十
Suchealis	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩	〡〇
Tamulica	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯	௰

Historia numerorum

Notae numerales in America Australi adhibitae.

Primus usus numerorum locum incertum in historia habet. Ut super dictum, prima indicia usus numeralium in ossibus et tesseris abhinc annorum 35 000 fere inscriptis inveniuntur. Haec numeralia fuerunt sicut notae ad dexteram pictae; id est non habere cifras. Numeros ab 1 ad 10 notare possunt, sed opus est novarum notarum ut numeri maiores scribantur. Cum cifris numeri quamvis magni una nota scribi possunt.

Tessera Babylonica inter annos 1800-1600 ante aer. vulg. cum approximatione radicis quadratae ${\sqrt {2}}$ per theorema Pythagorae: 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...

Primum systema numericum cum cifris fuit Babylonicum, quod radicem sexagesimalem habuit.

Notae

↑ Emile Benveniste, Bulletin de la Société linguistique de Paris 32, 1931, 83; Alois Walde & J.B.Hofmann, Lateinisches etymologisches Wörterbuch II (1938) s.v. numerus.
↑ Alfred Ernout & Antoine Meillet, Dictionnaire étymologique de la langue latine, s.v. numerus (Paris: Klincksieck, 1959⁴); Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque, s.v. νέμω. (Paris: Klincksieck, 1980).

Bibliographia

Bogomolny, A. "What's a number?". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml.
Danzig, Tobias. 1930. Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician. Novi Eboraci: The Macmillan company.
Friedman, Erich. What's special about this number?
Galovich, Steven. 1989. Introduction to Mathematical Structures. Harcourt Brace Javanovich. ISBN 0-15-543468-3.
Halmos, Paul. 1974. Naive Set Theory. Springer. ISBN 0-387-90092-6.
Kline, Morris. 1972. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxoniae: Oxford University Press.
Russell, Bertrand. 1919. Introduction to Mathematical Philosophy. Routledge. ISBN 0-415-09604-9.
Sanchez, George I. 1961. Arithmetic in Maya. Austin, Texas.
Selin, Helaine. 2000. Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6481-3.
Smith, David Eugene. 1958. History of Modern Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20429-4.
Staszkow, Ronald, et Robert Bradshaw. 2004. The Mathematical Palette. Ed. 3a. Brooks Cole. ISBN 0-534-40365-4.
Suppes, Patrick. 1972. Axiomatic Set Theory. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4. http://mathworld.wolfram.com/Integer.html.
Weisstein, Eric W. "Integer". MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Whitehead, Alfred North, et Russell, Bertrand.1910. Principia Mathematica. Cantabrigiae: Cambridge University Press.

Nexus externi

Nexus interni

[1] Emile Benveniste, Bulletin de la Société linguistique de Paris 32, 1931, 83; Alois Walde & J.B.Hofmann, Lateinisches etymologisches Wörterbuch II (1938) s.v. numerus.

[2] Alfred Ernout & Antoine Meillet, Dictionnaire étymologique de la langue latine, s.v. numerus (Paris: Klincksieck, 1959⁴); Pierre Chantraine: Dictionnaire étymologique de la langue grecque, s.v. νέμω. (Paris: Klincksieck, 1980).

[1]

[2]