Teorema di Schwarz

In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Il teorema in due variabili

Sia $f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ una funzione in due variabili, definita su un aperto $\Omega$ del piano $\mathbb {R} ^{2}$ . Se $f$ ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se $f\in C^{2}(\Omega )$ , allora queste coincidono in ogni punto $p$ , ovvero:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Come conseguenza, se una funzione $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

Dimostrazione

Sia $p=(x_{0},y_{0})\in \Omega$ . Si scelgono due reali $\varepsilon$ , $\delta >0\,$ tali che $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega$ . Ciò è possibile, poiché $\Omega$ è un aperto di $\mathbb {R} ^{2}$ .

Si definiscono due funzioni $F$ e $G$ come segue:

F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}

G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}

in modo che:

F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )

G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )

Si prova facilmente che, fissati $t$ e $s$ nei rispettivi intervalli:

F(t)-F(0)=G(s)-G(0).

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})

e analogamente:

G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),

con $\xi _{i}\in (0,t)$ e $\sigma _{i}\in (0,s)$ , dove per comodità di scrittura si sono assunti $t,s>0\,$ .

Facendo tendere $t$ e $s$ a $0$ (e quindi anche $\xi _{i}$ e $\sigma _{i}$ ), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})$ , cioè la tesi.

Esempio

Sia:

f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :

f_{x}=2xy^{2}+y^{3}

f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:

f_{xy}=4xy+3y^{2}

f_{yx}=4xy+3y^{2}

Quindi $f_{xy}=f_{yx}$ .

Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse

Il grafico della funzione f(x, y) di Peano qui accanto. Si può notare che è omogenea di grado 2, però girando attorno all'origine si sale e poi scende 4 volte, troppo per una forma quadratica in due variabili.

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.^[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua: