Sottogruppo

Nel seguito, sia ${\displaystyle G}$  un gruppo rispetto all'operazione ${\displaystyle *}$ , e sia ${\displaystyle a^{-1}}$  l'inverso di ${\displaystyle a\in G}$ .

H è un sottogruppo di G se e solo se è non-vuoto, ed è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso. In altre parole:

• per ogni a e b in H, il loro prodotto ${\displaystyle a*b}$  è ancora in H;
• per ogni a in H l'inverso ${\displaystyle a^{-1}}$  è ancora in H.

Alternativamente, possiamo chiedere che:

• per ogni a e b in H il prodotto ${\displaystyle a*b^{-1}}$  è ancora in H.

Se H è finito, è un sottogruppo se e solo se è non vuoto, e chiuso rispetto al prodotto.

L'intersezione di due sottogruppi H e H' è ancora un sottogruppo di G. Invece l'unione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi contiene l'altro.

Se S è un sottoinsieme di G, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono S, che viene indicato con <S> e chiamato il sottogruppo generato da S. Un elemento di G è in <S> se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di S o dei loro inversi.

Ogni elemento a genera quindi un sottogruppo ciclico <a>. Se <a> è isomorfo a Z/nZ per qualche intero positivo n, allora n è il più piccolo naturale per cui aⁿ = e, e n è l'ordine di a. Se <a> è isomorfo a Z, allora a ha ordine infinito.

I sottogruppi formano un reticolo completo con l'inclusione.

• Un sottogruppo di un gruppo finito è finito.
• Un sottogruppo di un gruppo abeliano è abeliano.
• Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.

Sia G il gruppo abeliano i cui elementi sono

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

e la cui operazione è l'addizione modulo 8, riassunta nella tavola di composizione seguente.

Questo gruppo ha due sottogruppi non banali: J={0,4} e H={0,2,4,6}, dove J è anche un sottogruppo di H.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Classe laterale e Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi).

Sia H un sottogruppo di G. La relazione su G

${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H}$ 

è una relazione d'equivalenza, e induce quindi una partizione di G.

Dato un elemento a, la classe laterale destra di H associata ad a è l'insieme

${\displaystyle Ha=\{ha|h\in H\}.}$ 

Si dimostra facilmente che i sottoinsiemi che formano la partizione di G sono le classi laterali destre di H. Due elementi a e a' danno la stessa classe destra se e solo se sono in relazione d'equivalenza. Il numero di queste classi è detto l'indice di H in G ed è indicato dal simbolo [G : H].

Poiché a è invertibile, la mappa

${\displaystyle \phi :H\rightarrow Ha,\quad \phi (h)=ha}$ 

è una biiezione, per ogni a. Da questo fatto segue il teorema di Lagrange, che dice che se G è finito

${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$ 

dove o(G) e o(H) sono gli ordini (cioè il numero di elementi) di G e H.

Quindi, se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, l'ordine di H deve dividere l'ordine di G.

Si definiscono analogamente le classi laterali sinistre, ottenendo lo stesso risultato. Se aH = Ha per ogni a (cioè le classi sinistre e destre coincidono), allora H è un sottogruppo normale.

• Gruppo (matematica)
• Sottogruppo normale

• Sottogruppo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Sottogruppo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.  
• Sottogruppo, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• sottogrùppo, su sapere.it, De Agostini.  
• Sottogruppo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Subgroup, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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