Sistema di equazioni lineari

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di ${\displaystyle m}$  equazioni lineari in ${\displaystyle n}$  incognite, che può essere scritto nel modo seguente:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}$ 

Il numero ${\displaystyle n}$  delle incognite è detto anche ordine del sistema.

Se i termini noti ${\displaystyle b_{i}}$  sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.

Una ${\displaystyle n}$ -upla ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$  di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le ${\displaystyle m}$  equazioni.^[3]

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.^[4]

In notazione indiciale il sistema si scrive:

${\displaystyle \sum _{j}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}}$ 

Definendo i vettori dei coefficienti:

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\equiv {\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}}$ 

e il vettore degli ${\displaystyle m}$  termini noti:

${\displaystyle \mathbf {b} \equiv {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$ 

il sistema è equivalente alla combinazione lineare:^[1]

${\displaystyle \sum _{i}^{n}a^{i}x_{i}=\mathbf {b} }$ 

Definendo ${\displaystyle \mathbf {x} }$  il vettore delle ${\displaystyle n}$  incognite:

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ 

ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:^[5]

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} =b_{1}}$ 

${\displaystyle \cdots }$ 

${\displaystyle \mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} =b_{m}}$ 

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.

Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$ 

Ora se${\displaystyle A}$  è la matrice ${\displaystyle m\times n}$  dei coefficienti:

${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}$ 

di cui in effetti ${\displaystyle \mathbf {a} ^{1},\ldots ,\mathbf {a} ^{n}}$  sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:

${\displaystyle A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 

Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:

${\displaystyle (A,\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right)}$ 

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.

Le matrici ${\displaystyle A\ }$  e ${\displaystyle (A,\mathbf {b} )}$  sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$  sono le incognite, i numeri ${\displaystyle a_{ij}}$  sono i coefficienti ed i numeri ${\displaystyle b_{i}}$  i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

• Determinato, quando ha una sola soluzione.
• Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
• Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
• Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
• Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
• Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Se il campo ${\displaystyle K}$  di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine ${\displaystyle n}$  è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di ${\displaystyle K^{n}}$ .

Si consideri l'operazione lineare:

${\displaystyle L(\mathbf {x} )=\sum _{i}^{n}x_{i}A^{i}}$ 

Il nucleo di ${\displaystyle L}$  è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne ${\displaystyle A^{1},\ldots ,A^{n}}$ . Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di ${\displaystyle A}$  è pari ad ${\displaystyle n}$ .

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di ${\displaystyle A}$ . La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad ${\displaystyle n}$ .

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango ${\displaystyle r}$  per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione ${\displaystyle n-r}$ .^[5] Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n-\rho (A)}$ .

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Rouché-Capelli.

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore ${\displaystyle \mathbf {b} }$  è l'immagine del vettore ${\displaystyle \mathbf {x} }$  ottenuta mediante l'applicazione lineare ${\displaystyle L_{A}\colon K^{n}\to K^{m}}$  definita nel seguente modo:

${\displaystyle L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} \ }$ 

L'immagine di ${\displaystyle L_{A}}$  è generata dai vettori dati dalle colonne di ${\displaystyle A}$ , e quindi ${\displaystyle \mathbf {b} }$  è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di ${\displaystyle A}$  contiene ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di ${\displaystyle A}$  è uguale allo spazio generato dalle colonne di ${\displaystyle (A|\mathbf {b} )}$ . In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , ogni altra soluzione si scrive come ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} }$ , dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$  è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:^[6]

${\displaystyle A\mathbf {v} =0}$ 

Infatti:

${\displaystyle A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \ }$ 

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , è quindi il sottospazio affine dato da:

${\displaystyle \operatorname {Sol} (A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A,\mathbf {0} )}$ 

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.^[7] Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice ${\displaystyle A}$  è ${\displaystyle n}$ . Altrimenti se il campo ${\displaystyle K}$  è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle K^{n}}$ , avente come dimensione la nullità ${\displaystyle t=n-\operatorname {rk} (A)}$  della matrice.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni.

Dato un sistema lineare nella forma

${\displaystyle A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {x} }$  è il vettore colonna delle incognite, ${\displaystyle \mathbf {b} }$  è il vettore colonna dei termini noti e ${\displaystyle A}$  è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:

${\displaystyle A^{-1}\cdot \mathbf {b} }$ 

dove ${\displaystyle A^{-1}}$  è l'inversa di ${\displaystyle A}$ . Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.

Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.

Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero

${\displaystyle {\begin{cases}A\mathbf {x} =\mathbf {c} \\B\mathbf {x} =\mathbf {d} \end{cases}}}$ 

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione

${\displaystyle m\cdot A\mathbf {x} +n\cdot B\mathbf {x} =m\cdot \mathbf {c} +n\cdot \mathbf {d} }$ .

dove ${\displaystyle m}$  e ${\displaystyle n}$  sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman e Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• F. Odetti e M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

• Equazione lineare
• Principio di sovrapposizione
• Rango (algebra lineare)
• Regola di Cramer
• Sistema di equazioni
• Sistema non lineare
• Sottospazio affine
• Teorema di Rouché-Capelli

•   Wikiversità contiene risorse sul sistema di equazioni lineari
•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul sistema di equazioni lineari

• (EN) Eric W. Weisstein, Sistema di equazioni lineari, su MathWorld, Wolfram Research.  

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