Mollificatore

Un mollificatore è una funzione ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ 
• ${\displaystyle {\mbox{supp}}(\rho )\subset B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)}$ 
• ${\displaystyle \rho \geq 0}$ 
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho =1}$ 

dove con ${\displaystyle {\mbox{supp}}(\rho )}$  si intende il supporto di ${\displaystyle \rho }$ , cioè la chiusura dell'insieme di punti dove ${\displaystyle \rho }$  non si annulla, e ${\displaystyle B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)}$  è la palla centrata nell'origine di raggio ${\displaystyle 1/n}$ .^[1]

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

${\displaystyle \rho _{1}(x)={\begin{cases}e^{1 \over ||x||^{2}-1}&{\mbox{ se }}||x||<1\\0&{\mbox{ se }}||x||\geq 1\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \rho _{n}(x)=c_{n}\rho _{1}(nx)}$ 

dove ${\displaystyle c_{n}}$  è una costante che normalizza l'integrale a 1.

 

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

${\displaystyle \rho *u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho (y)u(x-y)dy}$ 

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di ${\displaystyle u}$  per punti vicini a ${\displaystyle x}$ , in quanto per definizione di ${\displaystyle \rho }$  l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in ${\displaystyle x}$  di raggio ${\displaystyle 1/n}$  e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a ${\displaystyle x}$ .

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

• Se ${\displaystyle u}$  è continua allora ${\displaystyle \rho _{n}*u}$  converge a ${\displaystyle u}$  uniformemente sui compatti.

• Se ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ , con ${\displaystyle p<\infty }$ , allora ${\displaystyle \rho _{n}*u}$  converge a ${\displaystyle u}$  in norma ${\displaystyle L^{p}}$ .

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in ${\displaystyle L^{p}}$  che nello spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}}$  per ${\displaystyle p<\infty }$ .

• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.

• Convoluzione
• Funzione di cutoff
• Funzione test
• Spazio Lp
• Spazio di Sobolev

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