Gruppoide (teoria delle categorie)

In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme ${\displaystyle G}$  munito di una funzione parziale ${\displaystyle \oplus }$  e di una funzione totale ⁻¹ che soddisfano le seguenti condizioni per ogni ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  in ${\displaystyle G}$ :

• ${\displaystyle \oplus }$  è associativa, cioè se esistono sia ${\displaystyle f\oplus g}$  che ${\displaystyle g\oplus h}$ , allora ${\displaystyle (f\oplus g)\oplus h}$  e ${\displaystyle f\oplus (g\oplus h)}$  sono definite e coincidono;
• ${\displaystyle f^{-1}\oplus f}$  e ${\displaystyle f\oplus f^{-1}}$  sono sempre definite;
• Se ${\displaystyle f\oplus g}$  è definita, allora ${\displaystyle f\oplus g\oplus g^{-1}=f}$  e ${\displaystyle f^{-1}\oplus f\oplus g=g}$  (non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).

In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando ${\displaystyle G}$  e ${\displaystyle M}$ , rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:

• Una mappa sorgente ${\displaystyle s\colon G\rightarrow M}$ , che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$  il suo oggetto sorgente ${\displaystyle x.}$ 
• Una mappa bersaglio ${\displaystyle t\colon G\rightarrow M}$ , che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$  il suo oggetto bersaglio ${\displaystyle y.}$ 
• Una moltiplicazione parziale ${\displaystyle m\colon G\times _{M}G\rightarrow G}$ , che associa a due morfismi compatibili ${\displaystyle g_{2}\colon y\to z}$  e ${\displaystyle g_{1}\colon x\to y}$  la loro composizione ${\displaystyle g_{2}\cdot g_{1}\colon x\to z.}$ 
• Una mappa unità ${\displaystyle u\colon M\rightarrow G}$ , che associa ad ogni oggetto ${\displaystyle x}$  il morfismo identità ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}.}$ 
• Una mappa inversione ${\displaystyle i\colon G\rightarrow G}$ , che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$  il suo inverso ${\displaystyle g^{-1}\colon y\to x.}$ 

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$  (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

Dato un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ , si definisce orbita attraverso ${\displaystyle x\in M}$  l'insieme ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x):=t(s^{-1}(x))\subseteq M}$  degli elementi di ${\displaystyle M}$  che si collegano ad ${\displaystyle x}$  tramite un morfismo di ${\displaystyle G}$ . Le orbite di un gruppoide formano una partizione di ${\displaystyle M}$ ; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di ${\displaystyle M}$  possono essere da morfismi.

L'insieme ${\displaystyle G_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)\subseteq G}$  dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a ${\displaystyle x}$  è detto gruppo di isotropia in ${\displaystyle x\in M}$ , e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia ${\displaystyle G_{x}}$  e ${\displaystyle G_{y}}$  sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

• Ogni gruppo ${\displaystyle G}$  è un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$  con un solo oggetto.
• Dato un insieme ${\displaystyle M}$ , il gruppoide unità ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$  è il gruppoide con ${\displaystyle s=t=\mathrm {id} _{M}}$  e moltiplicazione triviale.
• Dato un insieme ${\displaystyle M}$ , il gruppoide coppia ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$  è il gruppoide con sorgente ${\displaystyle s(x,y)=y}$ , bersaglio ${\displaystyle t(x,y)=x}$  e moltiplicazione ${\displaystyle (x,y)\cdot (y,z)=(x,z).}$ 
• Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo ${\displaystyle G}$  su un insieme ${\displaystyle M,}$  il gruppoide di azione ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$  è definito sorgente ${\displaystyle s(g,x)=x}$ , bersaglio ${\displaystyle t(g,x)=g\cdot x}$  e moltiplicazione ${\displaystyle (h,g\cdot x)\cdot (g,x)=(hg,x).}$ 

Un gruppoide topologico è un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$  in cui ${\displaystyle G}$  e ${\displaystyle M}$  sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.

Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$  in cui ${\displaystyle G}$  e ${\displaystyle M}$  sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.^[4]

Un gruppoide di Lie ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$  può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà ${\displaystyle G}$  con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione^[5]. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson^[6][7][8] e in teoria delle foliazioni^[9].

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppoide, su MathWorld, Wolfram Research.  

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica