Dominio semplice

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

 

Dominio normale all'asse ${\displaystyle x}$ 

 

Dominio normale all'asse ${\displaystyle y}$ 

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle x}$  da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle y}$  da due funzioni della variabile ${\displaystyle x}$  continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}.}$ 

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle y}$  da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle x}$  da due funzioni della variabile ${\displaystyle y}$  continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}.}$ 

 

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{3}}$  l'insieme considerato e ${\displaystyle D}$  la proiezione ortogonale di ${\displaystyle T}$  sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:

${\displaystyle T}$  è normale al piano ${\displaystyle (x,y)}$ 

• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle x;}$ 
• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle y.}$ 

${\displaystyle T}$  è normale al piano ${\displaystyle (y,z)}$ 

• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle y;}$ 
• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle z.}$ 

${\displaystyle T}$  è normale al piano ${\displaystyle (z,x)}$ 

• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle x;}$ 
• con ${\displaystyle D}$  normale all'asse ${\displaystyle z.}$ 

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" ${\displaystyle D}$  e compreso tra le funzioni ${\displaystyle a(x,y)}$ e ${\displaystyle b(x,y)}$ :

${\displaystyle T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}}$ , con ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}.}$ 

In generale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  il numero dei domini semplici è dato dalla relazione ${\displaystyle n!}$ , ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ . Inoltre un dominio regolare ${\displaystyle N}$  è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari ${\displaystyle N_{i}}$ , a due a due privi di punti interni in comune:

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}.}$ 

Sia ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$  dominio regolare, convenzionalmente si dice che ${\displaystyle \partial D}$  è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}}$  tali che i versori normali ${\displaystyle N_{1}(t),\dots ,N_{k}(t)}$  canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con ${\displaystyle +\partial D}$ .

Siano ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$  e ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$  domini normali si ha che ${\displaystyle \forall \delta ,\varepsilon >0}$  esiste una decomposizione di ${\displaystyle D}$  e di ${\displaystyle E}$  del tipo ${\displaystyle D=\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}}$  e ${\displaystyle E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}}$  tali che:

1. ${\displaystyle D_{i}}$  ed ${\displaystyle E_{i}}$  sono domini normali;
2. ${\displaystyle D_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap D_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing \quad }$  e ${\displaystyle \quad E_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap E_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing ,\quad \forall i\neq j;}$ 
3. ${\displaystyle \operatorname {diam} (D_{i})<\delta \quad }$  e ${\displaystyle \quad \operatorname {diam} (E_{i})<\varepsilon ,\quad \forall i=1,\dots ,n,\quad }$  dove ${\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup\{\|x-y\|\ |\ x,y\in A\subset \mathbb {R} ^{n}\}}$  è il diametro del dominio.

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.

• Dominio (matematica)
• Integrale multiplo

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