Distribuzione normale

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di ${\displaystyle n}$  variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di ${\displaystyle n}$  all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali^[3] come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media ${\displaystyle \mu }$  e la varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ , ed è indicata tradizionalmente con:

${\displaystyle \ N(\mu ;\sigma ^{2}).}$ ^[4]

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~{\mbox{ con }}~x\in \mathbb {R} ,}$ 

dove ${\displaystyle \mu }$  è il valore atteso e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  la varianza.

Per dimostrare che ${\displaystyle p_{X}(x)}$  è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

${\displaystyle Z={\frac {x-\mu }{\sigma }},}$ 

dove la variabile risultante ${\displaystyle -\infty <Z<+\infty }$  ha anch'essa distribuzione normale con parametri ${\displaystyle \mu =0}$  e ${\displaystyle \sigma =1}$ . L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata ${\displaystyle Z}$  è il seguente:

${\displaystyle S=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz.}$ 

Dato che deve necessariamente valere la condizione ${\displaystyle S=1}$ , allora risulta anche ${\displaystyle S^{2}=1}$ , quindi:

${\displaystyle S^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Z}(z)dz\int _{-\infty }^{+\infty }p_{Y}(y)dy,}$ 

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {z^{2}+y^{2}}{2}}}dzdy,}$ 

dove anche la variabile casuale ${\displaystyle Y}$  ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari ${\displaystyle z=\rho \cos \theta }$  e ${\displaystyle y=\rho \sin \theta }$ , dove ${\displaystyle \rho \geq 0}$  e ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ . La matrice jacobiana della trasformazione è

${\displaystyle J(\rho ,\theta )=\left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\\\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{array}}\right],}$ 

il cui determinante è uguale a ${\displaystyle |J(\rho ,\theta )|=\rho (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho }$ . Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{\frac {\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}{2}}}|J(\rho ,\theta )|d\theta d\rho =\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {\rho ^{2}}{2}}}\rho \ d\rho =1.}$ 

La sua funzione generatrice dei momenti è

${\displaystyle g(x)=e^{\mu x+\sigma ^{2}{\frac {x^{2}}{2}}}.}$ 

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto ${\displaystyle \mu }$  e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

Non essendo possibile esprimere l'integrale della ${\displaystyle p_{X}(x)}$  in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

${\displaystyle 68,3\%=P\left\{\mu -1,00\sigma <X<\mu +1,00\sigma \right\};}$ 

${\displaystyle 95,0\%=P\left\{\mu -1,96\sigma <X<\mu +1,96\sigma \right\};}$ 

${\displaystyle 95,5\%=P\left\{\mu -2,00\sigma <X<\mu +2,00\sigma \right\};}$ 

${\displaystyle 99,0\%=P\left\{\mu -2,58\sigma <X<\mu +2,58\sigma \right\};}$ 

${\displaystyle 99,7\%=P\left\{\mu -3,00\sigma <X<\mu +3,00\sigma \right\}.}$ 

Essendo ${\displaystyle p_{X}(x)}$  una funzione simmetrica, è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Se

${\displaystyle X_{1},\,X_{2},\,\cdots ,X_{n}}$  sono ${\displaystyle n}$  variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso ${\displaystyle \mu _{i}}$  e varianza ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ,

allora

la variabile casuale ${\displaystyle Y=\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}+\cdots +\alpha _{n}X_{n}}$  è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso ${\displaystyle \mu =\alpha _{1}\mu _{1}+\alpha _{2}\mu _{2}+\cdots +\alpha _{n}\mu _{n}}$  e varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\cdots +\alpha _{n}^{2}\sigma _{n}^{2}}$ .

Altri teoremi: teorema di Cochran.

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se ${\displaystyle X}$  è distribuita come una variabile casuale binomiale con ${\displaystyle n}$  molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere ${\displaystyle n>30}$ ), e approssimativamente ${\displaystyle np>10}$ , allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso ${\displaystyle np}$  e varianza ${\displaystyle npq:N(np;npq)}$ .

Se ${\displaystyle X}$  è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro ${\displaystyle \lambda }$  molto grande (orientativamente ${\displaystyle \lambda >10}$ ), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a ${\displaystyle \lambda :N(\lambda ;\lambda )}$ .

Date ${\displaystyle n}$  distribuzioni normali ${\displaystyle Z_{1}(0;1);\,Z_{2}(0;1);\,\cdots \,Z_{n}(0;1)}$  con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora

${\displaystyle \chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2}}$ 

è una variabile casuale chi quadro con ${\displaystyle n}$  gradi di libertà.

Siano ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\cdots ,Z_{n}}$  variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$  delle costanti tali che

${\displaystyle \lambda =\sum {a_{i}^{2}},}$ 

allora si indica con ${\displaystyle \chi '^{2}}$  la variabile casuale chi quadro non centrale con ${\displaystyle n}$  gradi di libertà costruita come

${\displaystyle \chi '^{2}=\sum (Z_{i}+a_{i})^{2}.}$ 

Se ${\displaystyle Z\sim N(0;1)}$  e ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$  tra loro indipendenti, allora ${\displaystyle T=Z/{\sqrt {X/n}}}$  è distribuita come una t di Student con ${\displaystyle n}$  gradi di libertà.

Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}{\text{ i.i.d.}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$  e ${\displaystyle \displaystyle {\bar {X}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}}$  è la v.c. media campionaria, mentre ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n}}}$  è la v.c. varianza campionaria non corretta, allora ${\displaystyle {\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)}$  e ${\displaystyle {\frac {n{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)}$ , inoltre ${\displaystyle {\bar {X}}}$  e ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$  sono indipendenti.

Se ${\displaystyle Z\sim N(0;1)}$  e ${\displaystyle T=\beta \left({\tfrac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {(\alpha Z)^{2}}{4}}+1}}\right)^{2}}$ , allora ${\displaystyle T}$  è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri ${\displaystyle \alpha }$  e ${\displaystyle \beta }$ .

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.

Se ${\displaystyle x}$  è una distribuzione normale con parametri ${\displaystyle \mu }$  e ${\displaystyle 1/\theta }$ 

${\displaystyle f(x|\theta )=N(x|\mu ;1/\theta )}$ 

e il parametro ${\displaystyle \theta }$  ha una distribuzione ${\displaystyle \Gamma }$  con i parametri ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$ 

${\displaystyle g(\theta )=\Gamma (\theta |a;b),}$ 

allora il parametro ${\displaystyle \theta }$  è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri ${\displaystyle a+{\frac {1}{2}}}$  e ${\displaystyle b+{\frac {(\mu -x)^{2}}{2}}}$ :

${\displaystyle g(\theta |x)=\Gamma (\theta |a+1/2;b+(\mu -x)^{2}/2).}$ 

Se ${\displaystyle X}$  è distribuita come una v.c. normale con parametri ${\displaystyle m}$  e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 

${\displaystyle f(x|m)=N(x|m;1/r^{2})}$ 

e il parametro ${\displaystyle m}$  è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri ${\displaystyle \mu }$  e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 

${\displaystyle g(m)=N(m|\mu ;\sigma ^{2}),}$ 

allora il parametro ${\displaystyle m}$  è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri:

${\displaystyle (\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2})}$  e ${\displaystyle (\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})}$ 

${\displaystyle g(m|x)=N(m|(\sigma ^{2}\mu +r^{2}x)/(\sigma ^{2}+r^{2});(\sigma ^{2}r^{2})/(\sigma ^{2}+r^{2})).}$ 

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti^[5]. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss^[6] I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe.^[7].

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

• Sheldon Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo, 2003, ISBN 9788873038979.
• Stephen M. Stigler, Mathematical Statistics in the Early States, in The Annals of Statistics, vol. 6, n. 2, 1º marzo 1978, pp. 239–265, DOI:10.1214/aos/1176344123.

• Carl Friedrich Gauss
• Curva di Hubbert
• Distribuzione normale inversa
• Distribuzione normale multivariata
• Funzione gaussiana
• Integrale di Gauss
• Regola 68-95-99,7
• Statistica parametrica
• Teoria delle probabilità
• Teorema di Cochran

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla distribuzione normale

• (EN) normal distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Thermopedia, "Gaussian Distribution"

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