Criterio di Leibniz

Sia ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$  una successione di numeri reali tale che:

• esiste un ${\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}$  tale che ${\displaystyle a_{N}\geq a_{N+1}\geq a_{N+2}\geq \cdots \geq a_{N+n}>0}$  per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$  (quindi la successione ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$  è monotona debolmente decrescente)
• ${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0}$ .

Allora^[1] la serie

${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}}$ 

è convergente.

Poiché ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  è decrescente, per ogni ${\displaystyle n}$  si ha che

${\displaystyle s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}}$ 

da cui segue che

${\displaystyle s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots }$ 

Similmente

${\displaystyle s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}}$ 

e quindi

${\displaystyle s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots }$ 

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre ${\displaystyle s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n}}$  e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre ${\displaystyle D=\lim _{n\to \infty }s_{2n+1}}$  e ${\displaystyle P=\lim _{n\to \infty }s_{2n}}$ . Per ogni ${\displaystyle n}$  si ha

${\displaystyle s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}}$ 

perché se fosse ${\displaystyle D>P}$  potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni ${\displaystyle \varepsilon }$  da ${\displaystyle P}$  e termine dispari distanti da ${\displaystyle D}$  meno di ${\displaystyle \varepsilon }$ ; per ${\displaystyle \varepsilon }$  sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra ${\displaystyle P}$  e ${\displaystyle D}$  diventa più piccola di ogni ${\displaystyle a_{n}}$ ; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa ${\displaystyle P-D}$  ovvero ${\displaystyle P=D}$ . Poniamo ${\displaystyle S=P=D}$ . Essendo ${\displaystyle S}$  il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle m}$  tale che ${\displaystyle |S-s_{n}|<\varepsilon }$  per ogni ${\displaystyle n>m}$  (con ${\displaystyle n}$  pari). Allo stesso modo, essendo ${\displaystyle S}$  il limite delle somme parziali dispari, esiste ${\displaystyle k}$  tale che la disuguaglianza vale per ogni ${\displaystyle n}$  dispari maggiore di ${\displaystyle k}$ . Quindi prendendo ${\displaystyle h=\mathrm {max} \{m,k\}}$  la disuguaglianza vale per ogni ${\displaystyle n>h}$ , per ogni ${\displaystyle n}$  pari e dispari, e si ha quindi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=S}$ 

e la serie converge.

• Dalla dimostrazione, abbiamo che ${\displaystyle |S-s_{n}|\leq a_{n+1}}$ ; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale ${\displaystyle n}$ -esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}};}$ 

calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene

${\displaystyle s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456,}$ 

mentre la somma infinita vale esattamente

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931,}$ 

e si nota che

${\displaystyle |s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909\ldots ={\frac {1}{11}}.}$ 

• Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè ${\displaystyle a_{k}\geq 0\ \forall k,\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0,a_{k}\sim b_{k}}$  dove ${\displaystyle \{b_{k}\}}$  soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
• (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

• Criteri di convergenza
• Criterio di Dirichlet (matematica)

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